$$$\DeclareMathOperator{\sam}{softargmax} \def \bm#1{\boldsymbol#1} \def \R {\mathbb{R}} \def \E {\mathbb{E}} \def \V {\mathbb{V}}$

SARW Renormalization

Список литературы:

1. В.В. Лебедев, "Флуктуационные эффекты в макрофизике", Лекции 1-4.

Почему случай $d=4$$d=4$ особенный?

Ранее мы установили, что пропагатор для полимерной цепи без самопересечений можно представить в виде функционального интеграла:

Мы умеем вычислять функциональный интеграл, содержащий только первый множитель, что приводит нас к ответу $G_0(\mathit{R},N)$$G_0(\bm R, N)$ для гауссовой цепи. Почему бы не учитывать вклад от второго члена по теории возмущений? Давайте из соображений размерности определим параметр, по которому будет происходить соответствующее разложение:

где мы воспользовались результатом $R\propto \sqrt{N}$$R \propto \sqrt{N}$ для обычной гауссовой цепи (нулевое приближение). Таким образом, ряд теории возмущений для пропагатора будет иметь вид:

Нас интересуют асимптотические результаты для длинных цепей, то есть мы ищем ответ в пределе $N\to \mathrm{\infty }$$N \to \infty$. Если размерность пространства $d<4$$d<4$, то параметр теории возмущений не мал и метод не работает. Если размерность $d>4$$d>4$, то параметр стремится к нулю. Качественно это означает, что в пространстве высокой размерности гауссова цепь не пересекает себя и поэтому воспроизводится скейлинг, характерный для обычной гауссововой цепи $⟨R^2⟩\propto N^{2\nu }$$\langle R^2 \rangle \propto N^{2 \nu}$, где $\nu =1/2$$\nu = 1/2$. Размерность $d=4$$d=4$ является маргинальной (пограничной).

Статистика полимеров и критические явления

Можно отметить формальную аналогию между статиской полимерных цепей и различными особенностями критических явлений. В качестве иллюстрации рассмотрим фазовый переход в ферромагнетиках при изменении температуры вблизи точки Кюри. В отсутствии внешнего поля и при $T>T_c$$T>T_c$ средняя намагниченность равна нулю, однако при $T<T_c$$T<T_c$ появляется отличная от нуля намагниченность $M_0(T)$$M_0(T)$, которая соответствует минимуму свободной энергии:

Рассмотрим $T=T_c(1+\tau )$$T=T_c(1+\tau)$, где $0<\tau \ll 1$$0<\tau \ll 1$. Поскольку $\tau >0$$\tau >0$, то средняя намагниченность равна нулю. Однако, если мы посмотрим на локальное распределение $M(\mathit{r})$$M(\bm r)$, то увидим области, в которых средняя намагниченность отлична от нуля (вспомните про симуляцию модели Изинга вблизи точки фазового перехода). Характерный размер этих областей называется корреляционной длиной и для него справедливо

Здесь $a$$a$ – характерный размер между атомами, а $\nu$$\nu$ называется критическим индексом. В твердых телах размер коррелированных областей достигает сотен ангстрем, и на таких масштабах не важны детали устройства решетки, взаимодействия и т.п. Говорят, что в этом случае достигается универсальный режим, свойства которого определяются всего двумя параметрами – размерностью пространства $d$$d$ и числом компонент параметра порядка $n$$n$. Все критические экспоненты, такие как $\nu$$\nu$, зависят только от этих двух величин.

В случае длинных полимерных цепей наблюдается аналогичное универсальное поведение. Характерный размер полимерного клубка равен

Таким образом, теперь роль параметра $\tau$$\tau$ выполняет величина $1/N$$1/N$.

Теория Ландау

Центральным понятием теории Ландау является параметр порядка $\phi (\mathit{r})$$\varphi(\bm r)$, который связан с симметрийной природой фазовых переходов. При понижении температуры в точке фазового перехода происходит спонтанное нарушение симметрии системы, связанное с появлением ненулевого среднего значения параметра порядка. Основной задачей теории фазовых переходов является исследование корреляционных функций параметра порядка.

Вероятность реализации различных конфигураций $\phi (\mathit{r})$$\varphi(\bm r)$ определяется функционалом Ландау $\mathcal{F}(\phi )$$\mathcal{F}(\varphi)$, то есть

Для фазовых переходов второго рода характерно отсутствие нечетных по $\phi (\mathit{r})$$\varphi(\bm r)$ членов, тогда в случае скалярного параметра порядка функционал принимает вид:

Здесь $\lambda >0$$\lambda>0$, $b>0$$b>0$ и $a=\alpha (T-T_c)$$a=\alpha(T-T_c)$ – некоторые коэффициенты. Отметим, что если температура существенно ниже точки перехода, то параметр порядка не мал и нельзя ограничиваться только первыми членами разложения.

Типичной задачей является вычисление парной корреляционной функции

одним из методов ее решения является теория возмущения по константе взаимодействия $\lambda$$\lambda$.

Теория среднего поля

Теория среднего поля соответствует режиму, когда флуктуации параметра порядка малы по сравнению со среднем значением (вдали от точки фазового перехода). Формально это означает, что интегралы должны набираться в узкой окрестности $⟨\phi ⟩$$\langle \varphi \rangle$, который набирается вблизи абсолютного минимума функционала Ландау. В частности это означает, что $⟨\phi ⟩$$\langle \varphi \rangle$ является однородным в пространстве. Также отметим, что для теории среднего поля свободная энергия просто связана с функционалом Ландау $F=\mathcal{F}(⟨\phi ⟩)$$F = \mathcal{F}(\langle \varphi \rangle)$.

Упражнение 1. Найдите $⟨\phi ⟩$$\langle \varphi \rangle$ для функционала Ландау ($\text{7}$$\ref{eq:7}$).

Решение. Если $a>0$$a>0$, то $⟨\phi ⟩=0$$\langle \varphi \rangle = 0$, если $a<0$$a<0$, то $⟨\phi ⟩=\pm \sqrt{6|a|/\lambda }$$\langle \varphi \rangle = \pm \sqrt{6|a|/\lambda}$.

Скейлинг

При нахождении функции Грина методом теории возмущений (уравнение Дайсона) получается ответ из которого следует, что вблизи точки фазового перехода существует область в которой необходимо суммировать вклады всех порядков по $\lambda$$\lambda$. Это сложная задача, которая далека от своего решения. В настоящее время известны только главные особенности поведения корреляционных функций в области сильных флуктуаций. Эта информация происходит в основном из экспериментальных и численных данных и до некоторой степени объясняется теоретически в рамках $ϵ-$$\epsilon-$разложения.

Нас будет главным образом интересовать критический радиус или корреляционная длина, оценка для которого получается из сравнения градиентной энергии с квадратичным членом:

В области сильных флуктуаций параметры $b$$b$ и $a$$a$ перенормируются, а критический радиус ведет себя как

$ϵ$$\epsilon$-разложение

В размерность $d=3$$d=3$ поведение корреляционных функций параметра порядка вблизи температуры перехода оказывается сложным. Однако, задача может быть последовательно решена в пространстве размерности $d=4$$d=4$. Основная идея $ϵ$$\epsilon$-разложения заключается в том, что имеет смысл проанализировать задачу в пространстве с размерностью $d=4-ϵ$$d=4-\epsilon$, а затем экстраполировать полученные результаты на случай $ϵ=1$$\epsilon=1$. Значение параметра $ϵ=1$$\epsilon=1$ не является малой величиной, однако такая экстраполяция дает качественно правильную картину фазовых переходов.

Ренормгруппа – Качественно

Что же означают универсальные степенные зависимости в области сильных флуктуаций? Чтобы ответить на этот вопрос вернемся к рассмотрению полимеров и начнем с простейшей модели идеальной гауссовой цепи. Эта модель обладает следующим свойством: вместо цепи из $N$$N$ сегментов длины $b$$b$ мы можем рассматривать цепь из $N^{\prime }=N/\lambda$$N'=N/\lambda$ сегментов длины $b^{\prime }=b\sqrt{\lambda }$$b'=b\sqrt{\lambda}$, что соответствует огрубленному или более крупномасштабному описанию.

Если известно, что свойства системы не изменяются при такого рода масштабных преобразованиях, то можно понять как физические характеристики должны зависеть от параметров $N$$N$ и $b$$b$.

В качестве примера рассмотрим характерный размер полимерной цепи. Из соображений размерности ясно, что

и в силу инвариантности этой величины относительно преобразования $N\to N/\lambda$$N \to N/\lambda$ и $b\to b\sqrt{\lambda }$$b \to b \sqrt{\lambda}$, находим

откуда немедленно следует, что

Теперь предположим, что свойства цепи с исключенным объемом инвариантны относительно преобразования

тогда рассуждая аналогично, придем к выводу, что

Таким образом, универсальное степенное поведение свидетельствует о том, что можно перейти к более крупномасштабному описанию, исключив коротковолновые степени свободы, и что такое исключение будет сводиться к перенормировке параметров задачи.

Ренормгруппа – Количественно

Как мы установили ранее, задача про SARW эквивалентна $n$$n$-компонентной теории ${\phi }^4$$\varphi^4$ (точнее ее аналитическому продолжению на случай $n\to 0$$n \to 0$). Соответствующий функционал Ландау в пространстве размерности $d=4$$d=4$ имеет вид:

Процедура ренормгруппы соответствует переходу к все более крупномасштабному описанию, при этом эффективное взаимодействие с мелкомасштабными степенями свободы приводит к перенормировкам корреляционных функций. Идея состоит в том, чтобы исключать мелкомасштабные степени свободы маленькими шажками, тогда на каждом шаге перенормировка будет небольшой, несмотря на то, что в целом она может оказаться существенной.

Технически это осуществляется следующим образом. Разобьем параметр порядка на медленную ${\phi }^{\prime }$$\varphi'$ и быструю $\tilde{\phi }$$\tilde \varphi$ части

Здесь $\tilde{\phi }$$\tilde \varphi$ является суммой гармоник Фурье с самыми большими волновыми векторами ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }<q<\mathrm{\Lambda }$$\Lambda'<q<\Lambda$, а ${\phi }^{\prime }$$\varphi'$ содержит все остальные гармоники Фурье c $q<{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }$$q<\Lambda'$. Далее функция распределения интегрируется по быстрым степеням свободы

Малость перенормировок на каждом шаге подразумевает выполнение двух неравенств:

где безразмерная констанста связи $g$$g$ будет определена позднее. В итоге исключения быстрых степеней оказывается, что эта процедура эквивалентна следующим изменениям констант исходного функционала:

где $\mathrm{\Delta }\xi =\ln (\mathrm{\Lambda }/{\mathrm{\Lambda }}^{\prime })$$\Delta \xi = \ln (\Lambda/\Lambda')$.

Мы рассмотрели единичный шаг. Если повторять процедуру многократно, то функционал Ландау сохранит свою форму, но коэффициенты $a$$a$ и $\lambda$$\lambda$ будут постепенно изменяться при последовательном исключении быстрых переменных. Так как на каждом шаге изменения малы, то вариации параметров можно описать в терминах дифференциальных РГ-уравнений:

В однопетлевом приближении, которое использовалось для получения этих уравнений, коэффициент $b$$b$ не изменяется.

Все вычисления выше были проделаны в пространстве с размерностью $d=4$$d=4$, и как мы убедились все ренормировки носят логарифмический характер. Теперь нужно сделать аналитическое продолжение в пространство с размерностью $d=4-ϵ$$d = 4 - \epsilon$. Ответ будет иметь вид:

Последнее уравнение имеет устойчивую фиксированную точку $g=ϵ$$g = \epsilon$, что означает стремление $g\to ϵ$$g \to \epsilon$ при $\xi \to \mathrm{\infty }$$\xi \to \infty$. Подставляя $g=ϵ$$g = \epsilon$ в уравнение на параметр a, находим:

Теперь найдем критический индекс $\nu$$\nu$. Согласно определению, критическая длина $r_c\propto |T-T_c{|}^{-\nu }$$r_c \propto |T-T_c|^{-\nu}$. Величина $r_c$$r_c$ находится из сравнения двух членов второго порядка в функционале Ландау: $a\sim b/r_c^2$$a \sim b/r_c^2$, где коэффициенты должны быть взяты при ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }=r_c^{-1}$$\Lambda' = r_c^{-1}$. В итоге получаем

Аналитическое продолжение $n\to 0$$n \to 0$ приводит к