Self-Avoiding Random Walks

Список литературы:

T.A. Vilgis, "Polymer theory: path integrals and scaling", Physics Reports 336, 167-254 (2000).

Self-Avoiding Random WalksФормулировка задачиАнализ ФлориПреобразование Хаббарда-СтратоновичаДиффузия в случайном потенциалеКорреляционные функции – напоминаниеВспомогательное полеВычисление гауссовых интегралов

Формулировка задачи

Сегодня мы будем исследовать полимер без самопересечений, и наша основная задача понять как характерный размер клубка, в который сворачивается полимерная молекула, будет зависеть от контурной длины полимера.

$d$ -мерном пространстве

\begin{matrix} (1) & G (R, N) = \int_{r (0) = 0}^{r (N) = R} D r (s) \exp [- \frac{d}{2 b^{2}} \int_{0}^{N} d s {\dot{r}}^{2} (s)] \exp [- \frac{v}{2} \int_{0}^{N} d s \int_{0}^{N} d s^{'} δ^{(d)} (r (s) - r (s^{'}))], \end{matrix}

где первый член соответствует обычному случайному блужданию, а второе слагаемое вводит огромный штраф за самопересечение. Введенное взаимодействие между участками цепи носит нелокальный характер, и на первый взгляд абсолютно не ясно как с ним поступать.

Анализ Флори

Мы ожидаем, что характерный размер полимера будет степенным образом зависеть от его контурной длины, то есть

\begin{matrix} (2) & ⟨ R^{2} ⟩ \propto N^{2 ν} . \end{matrix}

$\nu = 1/2$ $1/2 \leq \nu \leq 1$ $d=1$ $\nu=1$ для SARW.

$\nu$ из соображений размерности. Выражение для действия, которое стоит в функциональном интеграле, можно записать в виде

\begin{matrix} (3) & S \sim \frac{d}{2 b^{2}} N \frac{R^{2}}{N^{2}} + \frac{v}{2} N^{2} \frac{1}{R^{d}} . \end{matrix}

$R$ $N$ и получим:

\begin{matrix} (4) & \frac{R}{N} \sim \frac{N^{2}}{R^{d + 1}} \Rightarrow R^{2} \sim N^{6 / (d + 2)} \Rightarrow ν = \frac{3}{d + 2} . \end{matrix}

$d=2$ $\nu=3/4$ $d=3$ $\nu = 3/5$ $d=4$ $\nu = 1/2$ $d>4$ $d=4$ является критической.

$\epsilon$ -разложения. Результатом будет,

\begin{matrix} (5) & ν = 1 / 2 + ϵ / 16 + 15 ϵ^{2} / 512 + \dots \approx 0.592, \end{matrix}

$\epsilon = 4-d$ $\epsilon=1$ . Ниже мы обсуждаем как переформулировать нашу задачу на языке теории поля.

Преобразование Хаббарда-Стратоновича

Руслан Стратонович изобрел точное преобразование, которое позволяет переформулировать систему частиц с парным взаимодействием в систему независимых частиц, которые взаимодействует с флуктуирующим вспомогательным полем. Пусть взаимодействие описывается вкладом в действие вида:

\begin{matrix} (6) & A_{i n t} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} d τ \int_{0}^{L} d τ^{'} V (x (τ), x (τ^{'})) . \end{matrix}

$d$ $\bf x$ $\phi({\bf x})$ $A_{int}$ на выражение

\begin{matrix} (7) & A_{i n t}^{ϕ} = \int_{0}^{L} d τ ϕ (x (τ)) - \frac{1}{2} \int d^{d} x \int d^{d} x^{'} ϕ (x) V^{- 1} (x, x^{'}) ϕ (x^{'}), \end{matrix}

$V^{-1} ({\bf x}, {\bf x'})$ удовлетворяет интегральному уравнению

\begin{matrix} (8) & \int d^{d} x^{'} V^{- 1} (x, x^{'}) V (x^{'}, x^{″}) = δ^{(d)} (x - x^{″}) . \end{matrix}

$\ref{eq:3}$ ) в виде

\begin{matrix} (9) & A_{i n t}^{ϕ} = \int d^{d} x ρ (x) ϕ (x) - \frac{1}{2} \int d^{d} x \int d^{d} x^{'} ϕ (x) V^{- 1} (x, x^{'}) ϕ (x^{'}), \end{matrix}

где

\begin{matrix} (10) & ρ (x) \equiv \int_{0}^{L} d τ δ^{(d)} (x - x (τ)) \end{matrix}

имеет физический смысл плотности частиц. Теперь произведем выделение полного квадрата, то есть представим результат в виде:

\begin{matrix} (11) & A_{i n t}^{ϕ} = - \frac{1}{2} \int d^{d} x \int d^{d} x^{'} [ϕ^{'} (x) V^{- 1} (x, x^{'}) ϕ^{'} (x^{'}) - ρ (x) V (x, x^{'}) ρ (x^{'})], \end{matrix}

где

\begin{matrix} (12) & ϕ^{'} (x) \equiv ϕ (x) - \int d^{d} x^{'} V (x, x^{'}) ρ (x^{'}) . \end{matrix}

Теперь функциональное интегрирование по вспомогательному полю может быть выполнено явным образом и с точностью до константы получаем

\begin{matrix} (13) & \int D ϕ (x) e^{- A_{i n t}^{ϕ}} = e^{- A_{i n t}} . \end{matrix}

$\phi({\bf x})$ $\bf x$ $-i \infty$ $+i \infty$ .

Упражнение 1. Покажите, что функция Грина для нашей полимерной задачи может быть записана в виде
$\begin{matrix} (14) & \begin{array}{r} G (R, N) = N \int_{r (0) = 0}^{r (N) = R} D r \int D ϕ e^{- S [r, ϕ]}, \\ S = \frac{d}{2 b^{2}} \int_{0}^{N} d s {\dot{r}}^{2} (s) + i \int_{0}^{N} d s ϕ (r (s)) + \frac{1}{2 v} \int d^{d} x ϕ^{2} (x), \end{array} \end{matrix}$
$\phi({\bf x})$ – действительно.

Диффузия в случайном потенциале

Используя результаты предыдущего раздела, перепишем выражение для пропагатора в виде:

\begin{matrix} (15) & G (R, N) = N \int D ϕ (x) \exp [- \frac{1}{2 v} \int d^{d} x ϕ^{2} (x)] G (R, N; [ϕ]), \end{matrix}

$\phi({\bf x})$ можно понимать как усреднение по случайному полю, которое имеет Гауссову функцию распределения

\begin{matrix} (16) & P [ϕ] \propto \exp [- \frac{1}{2 v} \int d^{d} x ϕ^{2} (x)], \end{matrix}

и поэтому его статистика полностью определяется двумя первыми моментами:

\begin{matrix} (17) & ⟨ ϕ (x) ⟩ = 0, ⟨ ϕ (x) ϕ (0) ⟩ = v δ (x) . \end{matrix}

$G({\bf R},N;[\phi])$ , представляет собой пропагатор при фиксированной реализации случайного поля, и она удовлетворяет уравнению Шредингера/диффузии (см. семинар №13) в потенциале:

\begin{matrix} (18) & [\frac{\partial}{\partial s} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla_{x}^{2} + i ϕ (x)] G (x, s; [ϕ]) = 0, G (x, 0; [ϕ]) = δ (x) . \end{matrix}

$s$ , которая соответствует контурной длине (аналог времени в обычной диффузии)

\begin{matrix} (19) & G (x, m^{2}; [ϕ]) = \int_{0}^{\infty} d s e^{- m^{2} s} G (x, s; [ϕ]) . \end{matrix}

Тогда уравнение на Лаплас образ принимает вид

\begin{matrix} (20) & [m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla_{x}^{2} + i ϕ (x)] G (x, m^{2}; [ϕ]) = δ (x), \end{matrix}

и формальное решение можно записать в виде:

\begin{matrix} (21) & G (x, x^{'}, m^{2}; [ϕ]) = {[m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla_{x}^{2} + i ϕ (x)]}^{- 1} δ (x - x^{'}), \end{matrix}

$G({\bf x, x'},m^2;[\phi])$ $G^{-1}({\bf x, x'},m^2;[\phi])$ .

Корреляционные функции – напоминание

На минуту забудем ту задачу, которую мы решаем, и вспомним некоторые результаты семинара №4-5. В нем мы исследовали корреляционные функции типа:

\begin{matrix} (22) & ⟨ x (τ_{1}) x (τ_{2}) ⟩ \equiv \frac{\int D x x (τ_{1}) x (τ_{2}) e^{- S_{E}}}{\int D x e^{- S_{E}}}, \end{matrix}

$S_E$ $S_E$ $J(\tau)$ , а потом воспользоваться дифференцированием по источнику:

\begin{matrix} (23) & ⟨ x (τ_{1}) x (τ_{2}) ⟩ = \frac{1}{U_{E} (0)} \frac{δ}{δ J (τ_{1})} \frac{δ}{δ J (τ_{2})} U_{E} (J) |_{J = 0} . \end{matrix}

Здесь мы ввели обозначение

\begin{matrix} (24) & U_{E} (J) = \int D x \exp [- \int d τ (x (τ) \hat{O} x (τ) - J (τ) x (τ))] . \end{matrix}

В этом интеграле можно выделить полный квадрат, после чего получается выражение

\begin{matrix} (25) & U_{E} (J) = e^{\frac{1}{2} J \cdot \hat{G} \cdot J} U_{E} (0), \end{matrix}

$\hat G = \hat O^{-1}$ . Таким образом, для парной корреляционной функции мы получаем:

\begin{matrix} (26) & ⟨ x (τ_{1}) x (τ_{2}) ⟩ \equiv \frac{\int D x x (τ_{1}) x (τ_{2}) \exp [- \int d τ x (τ) {\hat{G}}^{- 1} x (τ)]}{\int D x \exp [- \int d τ x (τ) {\hat{G}}^{- 1} x (τ)]} = G (τ_{1}, τ_{2}) . \end{matrix}

$\hat G^{-1}$ $\hat G$ через Гауссов функциональный интеграл по некоторому полю.

Вспомогательное поле

$\tau$ $\bf x$ $d$ $\xi({\bf x})$ , по которому будем брать функциональный интеграл:

\begin{matrix} (27) & G (x, x^{'}, m^{2}; [ϕ]) = ⟨ ξ (x) ξ (x^{'}) ⟩ = \frac{1}{Z} \int D ξ ξ (x) ξ (x^{'}) \exp [- \frac{1}{2} \int d^{d} x \int d^{d} x^{'} ξ (x) G^{- 1} (x, x^{'}, m^{2}; [ϕ]) ξ (x^{'})], \end{matrix}

$\ref{eq:G}$ $G^{-1}({\bf x, x'},m^2;[\phi])$ находим:

\begin{matrix} (28) & G (x, m^{2}; [ϕ]) = ⟨ ξ (x) ξ (0) ⟩ = \frac{1}{Z} \int D ξ ξ (x) ξ (0) \exp [- \frac{1}{2} \int d^{d} x ξ (x) (m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla_{x}^{2} + i ϕ (x)) ξ (x)] . \end{matrix}

${\bf x'}=0$ $\phi$ $\phi$ $Z$ !

Для решения этой проблемы воспользуемся еще одним стандартным трюком, который часто применяется в теоретической физике в самых разных задачах:

\begin{matrix} (29) & 1 / Z \equiv lim_{n \to 0} Z^{n - 1} . \end{matrix}

В итоге получаем:

\begin{matrix} (30) & \begin{matrix} G (x, m^{2}; [ϕ]) = lim_{n \to 0} {[\int D ξ \exp [- \frac{1}{2} \int d^{d} x ξ (x) (m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla_{x}^{2} + i ϕ (x)) ξ (x)]]}^{n - 1} \\ \times \int D ξ ξ (x) ξ (0) \exp [- \frac{1}{2} \int d^{d} x ξ (x) (m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla_{x}^{2} + i ϕ (x)) ξ (x)], \end{matrix} \end{matrix}

что можно записать в виде:

\begin{matrix} (31) & G (x, m^{2}; [ϕ]) = lim_{n \to 0} \prod_{a = 1}^{n} [\int D ξ_{a}] ξ_{1} (x) ξ_{1} (0) \exp [- S [{ξ_{a}}, ϕ]], \end{matrix}

где

\begin{matrix} (32) & S [{ξ_{a}}, ϕ] = \frac{1}{2} \sum_{a = 1}^{n} \int d^{d} x ξ_{a} (x) (m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla_{x}^{2} + i ϕ (x)) ξ_{a} (x) . \end{matrix}

$n$ ${\vec \xi} = (\xi_1, \dots, \xi_n)$ $n \to 0$ , который нужно понимать в смысле аналитического продолжения.

Вычисление гауссовых интегралов

$\phi({\bf x})$ . Получаем

\begin{matrix} (33) & \begin{matrix} G (x, m^{2}) = lim_{n \to 0} \int D \vec{ξ} ξ_{1} (x) ξ_{1} (0) \exp [- \frac{1}{2} \int d^{d} x \vec{ξ} (x) (m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla^{2}) \vec{ξ} (x)] \times \\ N \int D ϕ \exp [- \frac{1}{2 v} \int d^{d} x ϕ^{2} (x) - \frac{1}{2} \int d^{d} x \vec{ξ} (x) i ϕ (x) \vec{ξ} (x)] = \\ lim_{n \to 0} \int D \vec{ξ} ξ_{1} (x) ξ_{1} (0) \exp [- \frac{1}{2} \int d^{d} x \vec{ξ} (x) (m^{2} - \frac{b^{2}}{2 d} \nabla^{2}) \vec{ξ} (x) + v (\vec{ξ} (x) \vec{ξ} (x))^{2}] . \end{matrix} \end{matrix}

$\nabla^2$ можно положить равным единице. Также, можно этот член проинтегрировать по частям. В итоге приходим к выражению:

\begin{matrix} (34) & G (x, m^{2}) = lim_{n \to 0} \int D \vec{ξ} ξ_{1} (x) ξ_{1} (0) e^{- S_{G L W} [ξ]}, \end{matrix}

где введено действие Гинзбурга-Ландау-Вильсона:

\begin{matrix} (35) & S_{G L W} [ξ] = \frac{1}{2} \int d^{d} x [\sum_{a = 1}^{n} (| \nabla ξ_{a} (x) |^{2} + m^{2} ξ_{a}^{2}) + v \sum_{a, b = 1}^{n} ξ_{a}^{2} ξ_{b}^{2}] . \end{matrix}