Brownian Motion via Path Integral and Brownian Functionals

Список литературы:

1. Satya N. Majumdar, "Brownian Functionals in Physics and Computer Science", arXiv:cond-mat/0510064

Random Walk

Рассмотрим дискретную версию случайного блуждания частицы на прямой. Ее координата описывается уравнением

где ${\eta }_n$$\eta_n$ – независимые одинаково распределенные по гауссу случайные величины

Уравнение движения можно решить по цепочке и для координаты на $n$$n$-м шаге получаем:

Поскольку ${\eta }_n$$\eta_n$ независимы друг от друга, то их совместная функция распределения (joint distribution)

Используя уравнение движения, находим, что вероятность реализации траектории $\{x_i\}$$\{x_i\}$ для нашей частицы задается выражением

Continuous time BW

Теперь перейдем от дискретной во времени версии случайного блуждания к непрерывному аналогу – одномерному броуновскому движению. Для этого сперва введем в дискретную модель шаг по времени $\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$. Мы уже знаем, что смещение частицы $⟨x_n^2⟩={\sigma }^{2}n$$\langle x_n^2\rangle = \sigma^2 n$, где $n$$n$ – число шагов. Тогда должно выполняться

В пределе $\mathrm{\Delta }t\to 0$$\Delta t \to 0$ мы должны взять ${\sigma }^2\to 0$$\sigma^2 \to 0$ таким образом, чтобы отношение

именно в этом случае статистические свойства траекторий на больших масштабах будут идентичны друг другу независимо от выбора шага по времени $\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$.

Уравнение движения теперь записываются в виде

что в пределе бесконечно малого шага по времени приводит к

Выражение для вероятности реализации конкретной траектории ($\text{5}$$\ref{eq:traj}$) с учетом соотношения ${\sigma }^2=2D\mathrm{\Delta }t$$\sigma^2 = 2D \Delta t$ в непрерывном пределе переходит в

Free Propagator via Path Integral

Введем в рассмотрение пропагатор для свободной частицы $G(x,t;x_0,0)$$G(x,t;x_0,0)$ – плотность вероятности найти частицу в точке $x$$x$ в момент времени $t$$t$, если в нулевой момент времени она находилась в точке $x_0$$x_0$.

Хорошо известно, что этот пропагатор является решением уравнения Фоккера-Планка (в данном случае уравнения диффузии), то есть его можно определить, решив уравнение

откуда немедленно находим (удобнее всего решать задачу переходом в Фурье представление)

Как же получить этот результат с помощью формализма интеграла по траекториям?

Плотность вероятности найти частицу в точке $x$$x$ в момент времени $t$$t$ можно представить как сумму по всем возможным траекториям, которые удовлетворяют правильным граничным условиям:

Написанное выражение эквивалентно рассмотрению свободной квантовой частицы с массой $m=1/(2D)$$m=1/(2D)$ в формализме функционального интеграла, после поворота Вика (Eucledian path integral), см. семинар №4. Развивая эту аналогию, для правой части можно записать

Теперь ответ проще всего получить с помощью спектрального разложения. Для этого нужно найти собственные функции гамильтониана

и тогда ответ для пропагатора можно записать в виде

Упражнение 1. Проведите необходимые вычисления и покажите, что таким образом действительно получается правильный ответ для пропагатора.

Решение. В нашем случае стационарное уравнение Шредингера принимает вид

$$\begin{array}{}\text{(17)}& -D{\partial }_x^2{\psi }_E(x)=E{\psi }_E(x),\end{array}$$

откуда следует, что собственные функции гамильтониана имеют вид:

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\psi }_k(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{ikx},E=D{k}^2.\end{array}$$

Тогда для пропагатора получаем

$$\begin{array}{}\text{(19)}& G(x,t;x_0,0)=\int {\displaystyle \frac{dk}{2\pi }}{e}^{ik(x-x_0)}{e}^{-D{k}^{2}t}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}}\exp (-{\displaystyle \frac{(x-x_0{)}^2}{4Dt}}).\end{array}$$

First Passage Problems

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в начальный момент времени броуновская частица находилась в точке с координатой $x_0>0$$x_0>0$. Мы ходим посчитать плотность вероятности $f(x_0,t)$$f(x_0,t)$, что броуновская траектория впервые пересечет точку $x=0$$x=0$ в момент времени $t$$t$. Этот объект называется first-passage probability density.

Тесно связанной величиной является $q(x_0,t)$$q(x_0,t)$ – вероятность, что броуновская траектория не пересекала $x=0$$x=0$ вплоть до момента времени $t$$t$. Из определений очевидно, что

Вам должен быть знаком метод решения этой задачи с помощью введения поглощающей стенки в точке $x=0$$x=0$, после чего пропагатор $G(x,t;x_0,0)$$G(x,t;x_0,0)$ находится методом изображений, а величина

Как можно решать эту задачу методом функционального интеграла?

Запишем выражение для величины $q(x_0,t)$$q(x_0,t)$ следующим образом

где член $\prod _{\tau =0}^t\theta [x(\tau )]$$\prod_{\tau=0}^t \theta[x(\tau)]$ внутри функционального интеграла выделяет только те траектории, что не пересекали начало координат. Используя ранее полученные результаты, перепишем это выражение в виде:

где гамильтониан ${\hat{H}}_1=-D{\partial }_x^2+V(x)$$\hat H_1 = -D \partial_x^2 + V(x)$, причем $V(x)=0$$V(x)=0$, если $x>0$$x>0$ и $V(x)=\mathrm{\infty }$$V(x)=\infty$, если $x\le 0$$x \leq 0$. Обращение потенциала в бесконечность равносильно условию, что траектория частицы все время остается справа от начала координат.

Собственные функции оператора ${\hat{H}}_1$$\hat H_1$ должны обращаться в ноль при $x=0$$x=0$ и должны соответствовать свободному движению в области $x>0$$x>0$. Отсюда немедленно получаем, что

Тогда спектральный метод приводит нас к ответу:

Дальнейшие вычисления прямолинейны:

Brownian Functionals

Броуновским функционалом называется объект вида

где $x(\tau )$$x(\tau)$ – броуновская траектория, которая стартует из точки $x_0$$x_0$ в момент времени $\tau =0$$\tau=0$, а $U(x)$$U(x)$ – некоторая заданная функция. Очевидно, что $T$$T$ – случайная величина, которая зависит от конкретной реализации траектории. Задача состоит в том, чтобы найди функцию распределения этой случайной величины, которую мы обозначим $P(T|x_0,t)$$P(T|x_0,t)$.

В качестве примера рассмотрим $U(x)=|x|$$U(x)=|x|$, тогда величина $T={\int }_0^{t}d\tau |x(\tau )|$$T=\int_0^t d \tau |x(\tau)|$ представляет из себя площадь (без учета знака) под графиком траектории.

Если $U(x)=\theta (x)$$U(x) = \theta(x)$, то величина $T$$T$ будет известна как occupation time – время которое траектория проводит в области $x>0$$x>0$ за время $t$$t$ при условии, что частица стартует из точки $x_0$$x_0$. Подобные объекты играют важную роль в физических/экономических/алгоритмических и др. задачах.

В дальнейшем мы будем обсуждать случай, когда случайная величина $T$$T$ принимает только неотрицательные значения.

Feynman-Kac Formula

В качестве первого шага введем в рассмотрение совместную функцию распределения $T$$T$ и финальной позиции броуновской частицы $x$$x$ в момент времени $t$$t$, которую обозначим $P(x,T|x_0,t)$$P(x,T|x_0,t)$. Тогда очевидно, что

Совместная функция распределения может быть записана через функциональный интеграл

Поскольку $T\ge 0$$T \geq 0$, то сделаем преобразование Лапласа по переменной $T$$T$:

Этот интеграл легко вычисляется за счет дельта-функции и мы приходим к выражению

где гамильтониан

Алгоритм решения задачи:

1. Решаем стационарное уравнение Шредингера с потенциалом:

   $$\begin{array}{}\text{(33)}& [-D{\partial }_x^2+sU(x)]{\psi }_E(x)=E{\psi }_E(x).\end{array}$$

2. Применяем спектральный метод:

   $$\begin{array}{}\text{(34)}& \tilde{P}(x,s|x_0,t)=⟨x|e^{-\hat{H}t}|x_0⟩=\sum _E{\psi }_E(x){\psi }_E^{\ast }(x_0)e^{-Et}.\end{array}$$

3. Вычисляем обратное преобразование Лапласа по переменной $s$$s$ и находим $P(x,T|x_0,t)$$P(x,T|x_0,t)$.

4. Вычисляем интеграл по всем $x$$x$, смотри выражение ($\text{28}$$\ref{eq:int}$).

Вместо первых двух шагов можно поступить немного иначе. На первом семинаре мы показывали, что пропагатор $⟨x|e^{-\hat{H}t}|x_0⟩$$\langle x|e^{-\hat H t}|x_0 \rangle$, записанный через функциональный интеграл, удовлетворяет уравнению Шредингера. Поэтому справедливо уравнение

которое необходимо дополнить начальным условием

Иногда такой подход оказывается проще. Отметим также, что шаги 3 и 4 можно менять местами.

Backward Approach

На первом семинаре мы доказывали, что пропагатор удовлетворяет уравнению Шредингера, разбивая всю эволюцию за время $T$$T$, на два промежутка длинами $T-ϵ$$T-\epsilon$ и $ϵ$$\epsilon$, то есть мы отделяли и отдельно рассматривали последний шажок во времени. Аналогичным образом, мы могли бы рассмотреть альтернативное разбиение на участки с длительностями $ϵ$$\epsilon$ и $T-ϵ$$T-\epsilon$, то есть теперь коротким является первый участок. В обозначениях первого семинара, мы бы получили:

Поскольку шаг по времени $ϵ\to 0$$\epsilon \to 0$, то интеграл по $x^{\prime }$$x'$ набирается вблизи $x_a$$x_a$ и по этой малой разности можно разложиться в ряд Тейлора:

Теперь интегралы по $x^{\prime }$$x'$ легко вычисляются и мы приходим к выражению

что окончательно приводит нас к уравнению

Аналогичное уравнение на пропагатор, содержащее производные по начальной координате, можно получить и в нашем случае броуновского движения в потенциале. К достоинствам такого подхода следует отнести тот факт, что теперь само уравнение можно проинтегрировать по конечной координате $x$$x$. Если обозначить

то эта величина удовлетворяет уравнению

которое необходимо дополнить начальным условием

Последнее уравнение проще всего решить, если сделать преобразование Лапласа по времени $t$$t$:

Тогда

и мы получаем окончательное уравнение

Его необходимо решить (константы находятся из анализа асимптотик), после чего нужно выполнить два обратных преобразования Лапласа по переменным $\alpha$$\alpha$ и $s$$s$.

Levy's Arcsine Law

Рассмотрим броуновскую частицу с коэффициентом диффузии $D=1/2$$D=1/2$, которая изначально находилась в точке с координатой $x_0$$x_0$. Требуется найти функцию распределения случайной величины (occupation time)

Как мы установили ранее, сначала удобно искать не саму функцию распределения $P(T|x_0,t)$$P(T|x_0,t)$, а ее Лаплас образ относительно переменных $T$$T$ и $t$$t$:

Этот образ удовлетворяет уравнению ($\text{46}$$\ref{eq:final}$), которое в нашем случае принимает вид:

Это уравнение удобно анализировать на промежутках $x_0>0$$x_0>0$ и $x_0<0$$x_0<0$:

Так как это уравнение второго порядка, то решение и его производная должны быть непрерывными в точке $x_0$$x_0$. Это позволит определить две из 4 констант. Еще две константы найдем из анализа асимптотик. Если начальная координата $x_0\to +\mathrm{\infty }$$x_0 \to +\infty$, то частица все время будет находиться справа от начала координат, то есть $T=t$$T=t$ и поэтому $P(T|x_0\to +\mathrm{\infty },t)\to \delta (T-t)$$P(T|x_0\to +\infty,t) \to \delta(T-t)$, а это значит, что $\tilde{P}(s|x_0\to +\mathrm{\infty },\alpha )\to 1/(\alpha +s)$$\tilde P(s|x_0 \to +\infty,\alpha) \to 1/(\alpha+s)$. Аналогичным образом, находим $\tilde{P}(s|x_0\to -\mathrm{\infty },\alpha )\to 1/\alpha$$\tilde P(s|x_0 \to -\infty,\alpha) \to 1/\alpha$.

Упражнение 2. Покажите, что решение уравнения имеет вид:

$$\begin{array}{}\text{(52)}& \tilde{P}(s|x_0,\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\alpha +s}}[1+{\displaystyle \frac{(\sqrt{\alpha +s}-\sqrt{\alpha })}{\sqrt{\alpha }}}{e}^{-\sqrt{2(\alpha +s)}{x}_0}],x_0>0,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(53)}& \tilde{P}(s|x_0,\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}[1+{\displaystyle \frac{(\sqrt{\alpha }-\sqrt{\alpha +s})}{\sqrt{\alpha +s}}}{e}^{\sqrt{2\alpha }{x}_0}],x_0<0.\end{array}$$

Далее мы анализируем случай, когда $x_0=0$$x_0=0$. Тогда

и нам остается вычислить обратное преобразование Лапласа (сначала по $p$$p$, а затем по $\alpha$$\alpha$).

Упражнение 3. Покажите, что в случае $x_0=0$$x_0=0$ функция распределения имеет вид

$$\begin{array}{}\text{(55)}& P(T|0,t)={\displaystyle \frac{1}{\pi \sqrt{T(t-T)}}},0\le T\le t.\end{array}$$

Этот результат означает, что функция распределения максимальна при $T=0$$T = 0$ и $T=t$$T=t$, и минимальна при $T=t/2$$T=t/2$. Можно было бы ожидать, что типичная траектория броуновской частицы, которая стартует из нуля, проводит половину времени в области $x>0$$x>0$ и другую половину в области $x<0$$x<0$. В этом случае максимум функции распределения был бы в точке $T=t/2$$T=t/2$. Мы же получили в этой точке минимум! Это означает, что типичная траектория все время остается справа (пик при $T=t$$T=t$) или слева (пик при $T=0$$T=0$) от начала координат. Мораль такова, что the typical is not the same as the average.

Если функцию распределения проинтегрировать, то можно найти cumulative distribution function

First-Passage Brownian Functional

Теперь рассмотрим функционал вида

где $x(\tau )$$x(\tau)$ – броуновская траектория, $U(x)$$U(x)$ – некоторая заданная функция, а $t_f$$t_f$ – first-passage time процесса. То есть теперь верхний предел в интеграле сам по себе является случайной величиной, которая зависит от траектории частицы.

Мы хотим вычислить функцию распределения $P(T|x_0)$$P(T|x_0)$ случайной величины $T$$T$, для броуновской частицы, которая начинает движение из точки с координатой $x_0$$x_0$.

Примеры: если $U(x)=1$$U(x)=1$, то $T=t_f$$T=t_f$; если $U(x)=x$$U(x)=x$, то $T$$T$ – площадь под графиком.

Выполним преобразование Лапласа для искомой величины:

где в правой части среднее подразумевается по всем траекториям, которые стартуют из точки $x_0$$x_0$ в момент времени $\tau =0$$\tau=0$ и останавливаются в момент достижения точки $x=0$$x=0$.

Теперь разобьем типичную траекторию на интервале $[0,t_f]$$[0,t_f]$ на два участка: $[0,\mathrm{\Delta }\tau ]$$[0, \Delta \tau]$ – где частица переходит из точки $x_0$$x_0$ в точку $x_0+\mathrm{\Delta }x=x_0+\eta (0)\mathrm{\Delta }\tau$$x_0+\Delta x = x_0 + \eta(0) \Delta \tau$ согласно уравнению движения и $[\mathrm{\Delta }\tau ,t_f]$$[\Delta \tau, t_f]$ – где частица переходит из $x_0+\mathrm{\Delta }x$$x_0 + \Delta x$ в точку $0$$0$.

Интеграл ${\int }_0^{t_f}d\tau U(x(\tau ))$$\int_0^{t_f} d \tau \, U(x(\tau))$ также разобьем на два участка: ${\int }_0^{t_f}={\int }_0^{\mathrm{\Delta }\tau }+{\int }_{\mathrm{\Delta }\tau }^{t_f}$$\int_0^{t_f} = \int_0^{\Delta \tau} + \int_{\Delta \tau}^{t_f}$. Поскольку начальная координата равна $x_0$$x_0$ и время $\mathrm{\Delta }\tau$$\Delta \tau$ предполагается малым, то

Тогда уравнение ($\text{58}$$\ref{eq:tmp}$) можно переписать в виде:

Теперь правую часть разложим в ряд Тейлора и выполним усреднение по шуму воспользовавшись тем, что $⟨\eta (0)⟩=0$$\langle \eta (0) \rangle = 0$ и $⟨\eta (0{)}^2⟩=2D/\mathrm{\Delta }\tau$$\langle \eta(0)^2 \rangle = 2D/\Delta \tau$. В итоге получаем уравнение:

которое необходимо дополнить двумя граничными условиями. Если $x_0=0$$x_0 = 0$, то $t_f=0$$t_f = 0$ и поэтому $T=0$$T=0$. Тогда $P(T|0)=\delta (T)$$P(T|0) = \delta(T)$ и соответственно $\tilde{P}(s|0)=1$$\tilde P(s|0) = 1$. Если $x_0\to \mathrm{\infty }$$x_0 \to \infty$, то $t_f\to \mathrm{\infty }$$t_f \to \infty$ и для широкого класса функций (по крайней мере, если $U(x)$$U(x)$ не убывает с $x$$x$) находим $T\to \mathrm{\infty }$$T \to \infty$ и $\tilde{P}(s|\mathrm{\infty })\to 0$$\tilde P(s|\infty) \to 0$, смотри выражение ($\text{58}$$\ref{eq:tmp}$).

Все что осталось сделать – это решить уравнение и выполнить обратное преобразование Лапласа.

First Passage Time

В качестве первого примера рассмотрим $U(x)=1$$U(x)=1$, в этом случае $T=t_f$$T=t_f$ и мы приходим к уравнению на функцию распределения

Решение имеет вид

и после обратного преобразования Лапласа находим

Как и следовало ожидать, ответ совпадает с выражением ($\text{26}$$\ref{eq:aansw}$), полученным ранее.

First Passage Area

В качестве второго примера рассмотрим $U(x)=x$$U(x)=x$, тогда случайная величина $T$$T$ имеет смысл площади под графиком. Функция распределения удовлетворяет уравнению ($D=1/2$$D=1/2$ для краткости):

Упражнение 4. Решите уравнение, вычислите обратное преобразование Лапласа и покажите, что окончательный ответ имеет вид:

$$\begin{array}{}\text{(66)}& P(T|x_0)={\displaystyle \frac{2^{1/3}}{3^{2/3}\mathrm{\Gamma }(1/3)}}{\displaystyle \frac{x_0}{T^{4/3}}}\exp [-{\displaystyle \frac{2x_0^3}{9T}}].\end{array}$$

Comet Lifetime Distribution

Рассмотрим комету, которая попадает в солнечную систему с энергией $E_0<0$$E_0<0$ и вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите с большой полуосью $a$$a$, которая определяется соотношением $E_0=-GM/2a$$E_0 = -GM/2a$, где $G$$G$ – гравитационная постоянная и $M$$M$– масса Солнца.

Оказывается, что под влиянием больших планет (Юпитер, Сатурн) энергия кометы изменяется после каждого оборота и этот процесс в первом приближении можно описать случайным блужданием.

Комета покидает солнечную систему, когда ее энергия становится положительной.

Нам будет удобно работать с положительной величиной $x=-E$$x=-E$, которая принимает значения $x_0,x_1,\dots ,x_f$$x_0, x_1,\dots,x_f$. Суммарное время нахождения в солнечной системе будет равно

где $U(x)\propto x^{-3/2}$$U(x) \propto x^{-3/2}$ время оборота с соответствующей энергией (3-й закон Кеплера). В непрерывном пределе находим

Упражнение 5. Найдите функцию распределения $P(T|x_0)$$P(T|x_0)$.

Ответ:

$$\begin{array}{}\text{(69)}& \tilde{P}(s|x_0)=16s{x}_0^{1/2}{K}_2(\sqrt{32s}{x}_0^{1/4}),P(T|x_0)={\displaystyle \frac{64x_0}{T^3}}\exp [-{\displaystyle \frac{8\sqrt{x_0}}{T}}].\end{array}$$

Указание:

$$\begin{array}{}\text{(70)}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{-\nu -1}{e}^{-sy-\beta /y}dy=2(s/\beta {)}^{\nu /2}{K}_{\nu }(2\sqrt{s\beta }).\end{array}$$