Эффект Ааронова-Бома

Список литературы:

R. Rattazzi, "The Path Integral approach to Quantum Mechanics", глава 5.3.
A. Wipf, "Path Integrals", глава 5.

Эффект Ааронова-БомаЭлектромагнитный потенциалПропагатор частицы в магнитном полеДискретизация функционального интегралаЭффект Ааронова-Бома

Электромагнитный потенциал

Заряженная частица реагирует на присутствие электрического и магнитного полей – она ускоряется и/или ее траектория изгибается. В пустоте электрическое и магнитное поле удовлетворяют уравнениям Максвелла

\begin{matrix} (1) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0, \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \end{matrix}

и в курсе теории поля было показано, что поля можно выразить через компоненты 4-потенциала:

\begin{matrix} (2) & \vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}, \vec{E} = - \nabla Φ - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} . \end{matrix}

$\vec{A}$ вводится потому, что с его помощью проще решать некоторые задачи и что сам по себе он не несет физического смысла.

$\psi(x,y,z) = 0$ на оболочке. В формализме интеграла по траекториям это означает, что мы должны суммировать по всем путям, которые не заходят внутрь цилиндра.

$\vec{B}=0$ равно нулю во внешней области. Однако квантовая механика говорит нам, что это рассуждение не верно.

$\vec{A} \neq 0$ за пределами оболочки, как следует из теоремы Стокса. Поскольку задача обладает цилиндрической симметрией, то удобно работать в калибровке

\begin{matrix} (3) & A_{z} = A_{r} = 0, A_{ϕ} = \frac{B S}{2 π r}, r > r_{0}, \end{matrix}

$r_0$ – радиус оболочки. К каким же наблюдаемым различиям это приводит?

Пропагатор частицы в магнитном поле

$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ имеет вид

\begin{matrix} (4) & H (\vec{p}, \vec{x}) = \frac{1}{2 m} {(\vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} (\vec{x}))}^{2}, \end{matrix}

поэтому для Лагранжиана мы можем записать

\begin{matrix} (5) & \vec{p} \dot{\vec{x}} - H = - \frac{{\vec{p}}^{2}}{2 m} + \vec{p} (\dot{\vec{x}} + \frac{e}{m c} \vec{A}) - \frac{e^{2}}{2 m c^{2}} {\vec{A}}^{2} = - \frac{1}{2 m} {(\vec{p} - (m \dot{\vec{x}} + \frac{e}{c} \vec{A}))}^{2} + \frac{m {\dot{\vec{x}}}^{2}}{2} + \frac{e}{c} \vec{A} \dot{\vec{x}} . \end{matrix}

Интегрирование по импульсам выполняется тривиально и мы приходим к выражению для пропагатора

\begin{matrix} (6) & U (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) = \int D x e^{i S [x] / ℏ}, S [x] = \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t [\frac{m {\dot{\vec{x}}}^{2}}{2} + \frac{e}{c} \vec{A} \dot{\vec{x}}] . \end{matrix}

Дискретизация функционального интеграла

$\vec A(\vec x)$ при переходе к дискретному описанию. Используя обозначения из первого семинара, запишем

\begin{matrix} (7) & S = ε \sum_{j = 0}^{N} [\frac{m}{2} {(\frac{{\vec{x}}_{j + 1} - {\vec{x}}_{j}}{ε})}^{2} + \frac{e}{c} \vec{A} [λ {\vec{x}}_{j} + (1 - λ) {\vec{x}}_{j + 1}] \frac{{\vec{x}}_{j + 1} - {\vec{x}}_{j}}{ε}], \end{matrix}

$\lambda \in [0,1]$ фиксирует наш выбор. Рассмотрим изменение волновой функции частицы на последнем шаге по времени:

\begin{matrix} (8) & \begin{array}{r} ψ (\vec{x}, t + ε) = \int d \vec{y} U (\vec{x}, ε; \vec{y}, 0) ψ (\vec{y}, t) = \\ \int_{- \infty}^{+ \infty} d^{3} y {(\frac{m}{2 π i ε ℏ})}^{3 / 2} \exp [\frac{i ε}{ℏ} (\frac{m}{2} \frac{(\vec{x} - \vec{y})^{2}}{ε^{2}} + \frac{e}{c} \vec{A} [λ \vec{y} + (1 - λ) \vec{x}] \frac{\vec{x} - \vec{y}}{ε})] ψ (\vec{y}, t) . \end{array} \end{matrix}

$\vec \xi = \vec y - \vec x$ и тогда

\begin{matrix} (9) & ψ (\vec{x}, t + ε) = {(\frac{m}{2 π i ε ℏ})}^{3 / 2} \int_{- \infty}^{+ \infty} d^{3} \vec{ξ} \exp (\frac{i m {\vec{ξ}}^{2}}{2 ℏ ε}) \exp (- \frac{i e \vec{ξ}}{ℏ c} \vec{A} [\vec{x} + λ \vec{ξ}]) ψ (\vec{x} + \vec{ξ}, t) . \end{matrix}

$\xi$ $O(\varepsilon^{1/2})$ $\xi$ $\varepsilon$ :

\begin{matrix} (10) & \begin{array}{r} ψ (\vec{x}, t + ε) = {(\frac{m}{2 π i ε ℏ})}^{3 / 2} \int_{- \infty}^{+ \infty} d^{3} \vec{ξ} \exp (\frac{i m {\vec{ξ}}^{2}}{2 ℏ ε}) (1 - \frac{i e \vec{ξ}}{ℏ c} (\vec{A} [\vec{x}] + λ \nabla \vec{A} [\vec{x}] \vec{ξ}) - \frac{e^{2} ξ^{2}}{2 ℏ^{2} c^{2}} {\vec{A}}^{2} (\vec{x}) + O (ξ^{3})) \times \\ [ψ (\vec{x}, t) + \nabla ψ (\vec{x}, t) \vec{ξ} + \partial_{α} \partial_{β} ψ (\vec{x}, t) ξ_{α} ξ_{β} / 2 + O (ξ^{3})] . \end{array} \end{matrix}

Теперь интегралы можно вычислить в явном виде

\begin{matrix} (11) & \int_{- \infty}^{+ \infty} d^{3} \vec{ξ} (1; ξ_{k}; ξ_{k} ξ_{l}) \exp (- a {\vec{ξ}}^{2}) = (1; 0; δ_{k l} / 2 a) (π / a)^{3 / 2} \end{matrix}

и мы получаем:

\begin{matrix} (12) & ψ (\vec{x}, t + ε) = ψ (\vec{x}, t) + ε \frac{i ℏ}{2 m} \nabla^{2} ψ (\vec{x}, t) + ε \frac{λ e}{m c} div \vec{A} (\vec{x}) \cdot ψ (\vec{x}, t) - ε \frac{i e^{2}}{2 ℏ m c^{2}} {\vec{A}}^{2} (\vec{x}) ψ (\vec{x}, t) + ε \frac{e}{m c} \vec{A} (\vec{x}) \nabla ψ (\vec{x}, t), \end{matrix}

$\varepsilon \to 0$ дает:

\begin{matrix} (13) & i ℏ \partial_{t} ψ = [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + \frac{i ℏ e}{m c} \vec{A} \nabla + \frac{e^{2}}{2 m c^{2}} {\vec{A}}^{2} + λ \frac{i ℏ e}{m c} div \vec{A}] ψ \end{matrix}

Правая часть должна совпадать с гамильтонианом

\begin{matrix} (14) & \frac{1}{2 m} {(- i ℏ \nabla - \frac{e}{c} \vec{A})}^{2} ψ = [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + \frac{e^{2}}{2 m c^{2}} {\vec{A}}^{2} + \frac{i ℏ e}{m c} \vec{A} \nabla + \frac{i ℏ e}{2 m c} div \vec{A}] ψ, \end{matrix}

$\lambda=1/2$ .

Упражнение 1. $(\vec A(\vec x_j)+\vec A(\vec x_{j+1}))/2$ тоже приводит к правильному уравнению Шредингера.

Эффект Ааронова-Бома

$A_{\phi}$ $\gamma_1$ $\gamma_2$ , которые охватывают металлический цилиндр и потому топологически неэквивалентны (один нельзя перевести в другой непрерывными деформациями).

$U(x_f,x_i;T)$ :

\begin{matrix} (15) & γ_{1} \to e^{i S_{1} / ℏ} = \exp (\frac{i S_{0}^{(1)}}{ℏ} - \frac{i e}{ℏ} \int_{γ_{1}} d \vec{x} \vec{A} (\vec{x})), \end{matrix}

\begin{matrix} (16) & γ_{2} \to e^{i S_{2} / ℏ} = \exp (\frac{i S_{0}^{(2)}}{ℏ} - \frac{i e}{ℏ} \int_{γ_{2}} d \vec{x} \vec{A} (\vec{x})), \end{matrix}

$S_0^{(i)}$ $\gamma_i$ для свободной частицы. Таким образом, вектор потенциал создает дополнительную разность фаз между путями

\begin{matrix} (17) & Δ ϕ = \frac{e}{ℏ} \oint_{γ_{2} - γ_{2}} d \vec{x} \vec{A} (\vec{x}) = - \frac{e B S}{ℏ} \equiv - \frac{e Φ}{ℏ} . \end{matrix}

Эту разность фаз можно наблюдать экспериментально. Рассмотрим эксперимент с двумя щелями в присутствии соленоида. Магнитный поток создает дополнительную разность фаз, что приводит к сдвигу полос интерференционной картины.