Прохождение частицы через потенциальный барьер

Список литературы:

1. R. Rattazzi, "The Path Integral approach to Quantum Mechanics", глава 3.2.

Запаздывающий (retarded) пропагатор

Обсудим общие свойства запаздывающего пропагатора $\theta (t)U(x_f,t;x_i,0)$$\theta(t) U(x_f,t;x_i,0)$ в энергетическом/частотном представлении:

где фактор с $ϵ\to +0$$\epsilon \to +0$ введен, чтобы обеспечить сходимость интеграла в пределе $t\to \mathrm{\infty }$$t \to \infty$. Явное интегрирование по времени на последнем шаге возможно, поскольку мы полагаем, что гамильтониан системы не зависит от времени. Очевидно, что получающийся результат является аналитической функцией в верхней полуплоскости $ImE>0$$Im \; E>0$ (интеграл сходится), что является отражением принципа причинности.

Из последнего равенства можно заключить, что запаздывающий пропагатор $U(E;x_f,x_i)$$U(E;x_f,x_i)$ представляет собой обратный оператор Шредингера $\hat{U}=i\hslash /(E-\hat{H}+iϵ)$$\hat U = i \hbar/(E - \hat H + i \epsilon)$, записанный в координатном представлении. Этот оператор удовлетворяет уравнению

которое в координатном представлении имеет вид

Это уравнение и гран. условия к нему (которые мы обсудим ниже), полностью определяют $U(E;x_f,x_i)$$U(E;x_f,x_i)$.

Построение пропагатора и граничные условия

Предположим, что мы нашли два линейно независимых решения уравнения Шредингера

тогда функция

где мы ввели вронскиан $W={\psi }_1^{\prime }(x){\psi }_2(x)-{\psi }_1(x){\psi }_2^{\prime }(x)$$W=\psi_1'(x) \psi_2(x) - \psi_1(x) \psi_2'(x)$ (это константа, так как в уравнении нет члена с первой производной), по построению удовлетворяет уравнению ($\text{3}$$\ref{eq:1}$). Однако, чтобы функция $f(E;x,y)$$f(E;x,y)$ совпала с запаздывающим пропагатором, решения ${\psi }_1$$\psi_1$ и ${\psi }_2$$\psi_2$ должны удовлетворять определенным граничным условиям.

Сфокусируемся на случае, когда потенциал $V(x)\to 0,|x|\to \mathrm{\infty }$$V(x) \to 0, \; |x| \to \infty$ (задача о прохождении через барьер или про локализованную потенциальную яму). В этом случае, любое решение уравнения Шредингера с положительной энергией имеет асимптотику

Решения ${\psi }_{1,2}$$\psi_{1,2}$ должны обеспечивать правильное поведение функции $U(E;x_f,x_i)$$U(E;x_f,x_i)$ при $|x_f|\to \mathrm{\infty }$$|x_f| \to \infty$. Чтобы установить это поведение, вспомним, что обратное преобразование Фурье

представляет собой волновую функцию $\mathrm{\Psi }(x_f,t>0)$$\Psi(x_f,t>0)$ при условии, что $\mathrm{\Psi }(x_f,0)=\delta (x_f-x_i)$$\Psi(x_f,0) = \delta(x_f-x_i)$. Поэтому для любого конечного $t>0$$t>0$ и для $x_f\to +\mathrm{\infty }\gg x_i$$x_f \to +\infty \gg x_i$, волновая функция $\mathrm{\Psi }(x_f,t)$$\Psi(x_f,t)$ должна быть суперпозицией волн, распространяющихся в $+x$$+x$ направлении (то есть с положительными энергией и импульсом). Это означает

и аналогичным образом

Условие аналитичности в верхней полуплоскости для запаздывающего пропагатора позволяет аналитически продолжить $\sqrt{E}$$\sqrt{E}$ из области $E>0$$E>0$ в область $E<0$$E<0$ (разрез при определении $\sqrt{E}$$\sqrt{E}$ должен проходить в области $ImE<0$$Im \; E<0$, поэтому $\sqrt{E}\to i\sqrt{|E|}$$\sqrt{E} \to i \sqrt{|E|}$)

Наконец, поведение при $x_f\to \pm \mathrm{\infty }$$x_f \to \pm \infty$ определяется соответственно функциями ${\psi }_1$$\psi_1$ и ${\psi }_2$$\psi_2$, откуда находим, что

Эти условия позволяют однозначно зафиксировать решения ${\psi }_{1,2}$$\psi_{1,2}$, а затем пропагатор вычисляется согласно выражению

Упражнение 1. Вычислите $U(E;x,y)$$U(E;x,y)$ для свободной частицы.

Ответ. $U={\displaystyle \frac{m}{\hslash k}}{e}^{ik|x-y|}$$U=\dfrac{m}{\hbar k} e^{ik|x-y|}$, $k=\sqrt{2mE}$$k=\sqrt{2mE}$.

Отметим, что подобный асимптотический анализ для фиксации ${\psi }_{1,2}$$\psi_{1,2}$ может быть проведен и для других ситуаций, например, когда потенциал на одном или обоих из краев стремится к бесконечности (нужно выбирать экспоненциально спадающее решение).

Потенциальный барьер

Рассмотрим задачу о прохождении/отражении частицы через потенциальный барьер. Вдали от барьера, решения ${\psi }_{1,2}$$\psi_{1,2}$ имеют вид:

где $A_{+}/A_{-}$$A_+/A_-$ – коэффициент прохождения через барьер, $B_{+}/B_{-}$$B_+/B_-$ – коэффициент отражения от барьера при условии, что частица налетает на барьер справа/слева ($|A_{+}{|}^2+|B_{+}{|}^2=1$$|A_+|^2+|B_+|^2=1$ и $|A_{-}{|}^2+|B_{-}{|}^2=1$$|A_-|^2+|B_-|^2=1$).

Вычислим вронскиан (при $x\to -\mathrm{\infty }$$x \to -\infty$): $W=2ik{A}_{-}$$W = 2ikA_-$ и тогда

В пределе $x\to +\mathrm{\infty }$$x \to +\infty$ и $y\to -\mathrm{\infty }$$y \to -\infty$ мы получаем:

то есть пропагатор как и следует определяет коэффициент прохождения через барьер.

Вычисление пропагатора

Вычисления проводим в квазиклассическом (перевальном) приближении. Тогда для пропагатора находим:

где мы воспользовались результатами, полученными ранее на шестом семинаре. Здесь $S_{cl}=S_{cl}(x_f,x_i;t)$$S_{cl}=S_{cl}(x_f,x_i;t)$ и этот интеграл также будем вычислять в перевальном приближении (предел $\hslash \to 0$$\hbar \to 0$ или достаточно большой $E$$E$). Сперва ищем стационарную точку $t^{\ast }$$t^*$:

где $E_{cl}(t)$$E_{cl}(t)$ – энергия классической траектории движения из $x_i$$x_i$ в $x_f$$x_f$ за время $t$$t$. Отметим, что перевальное приближение "выбирает" классическую траекторию с энергией $E_{cl}=E$$E_{cl}=E$.

Показатель экспоненты в стационарной точке равен

где $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$$p(x) = \sqrt{2m(E-V(x))}$ – импульс на классической траектории с энергией $E$$E$.

Теперь вычисляем вторую производную

Чтобы преобразовать это выражение, нам понадобятся некоторые тождества из курса механики. Введем в рассмотрение ${\dot{x}}_{cl}=v(x)=\sqrt{2(E_{cl}-V(x))/m}$$\dot x_{cl} = v(x) = \sqrt{2(E_{cl}-V(x))/m}$ и тогда

Теперь продифференцируем это соотношение по $t$$t$ и положим $t=t^{\ast }$$t=t^*$:

откуда получаем, что

Правую часть этого равенства можно выразить через классическое действие. Для этого понадобится произвести несколько промежуточных шагов. Во-первых, вспоминаем, что

$$\begin{array}{}\text{(27)}& {\displaystyle \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_f}}=p_f=\sqrt{2m(E-V(x_f))}\end{array}$$

и поэтому

$$\begin{array}{}\text{(28)}& {\displaystyle \frac{{\partial }^2{S}_{cl}}{\partial x_i\partial x_f}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2m}{E-V(x_f)}}}{\displaystyle \frac{\partial E}{\partial x_i}}={\displaystyle \frac{1}{v_f}}{\displaystyle \frac{\partial E}{\partial x_i}}.\end{array}$$

Во-вторых, в очередной раз запишем выражение для времени между началом и концом пути:

$$\begin{array}{}\text{(29)}& t_f-t_i={\int }_{x_i}^{x_f}{\displaystyle \frac{dx}{\dot{x}}}={\int }_{x_i}^{x_f}dx\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{2(E-V(x))}}},\end{array}$$

но теперь продифференцируем его по $x_i$$x_i$:

$$\begin{array}{}\text{(30)}& 0=-{\displaystyle \frac{1}{v_i}}-{\displaystyle \frac{\partial E}{\partial x_i}}{\int }_{x_i}^{x_f}{\displaystyle \frac{dx}{m}}{\displaystyle \frac{1}{v^3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\partial E}{\partial x_i}}=-{\displaystyle \frac{m}{v_i{\int }_{x_i}^{x_f}dx/v^3}}.\end{array}$$

Собирая оба результата вместе, находим:

$$\begin{array}{}\text{(31)}& {\displaystyle \frac{{\partial }^2{S}_{cl}}{\partial x_i\partial x_f}}=-{\displaystyle \frac{m}{v_i{v}_f{\int }_{x_i}^{x_f}dx/v^3}}.\end{array}$$

Таким образом,

и теперь мы можем вычислить интеграл методом стационарной фазы:

Для пропагатора получаем ответ:

Туннелирование через барьер

Квазиклассическое приближение нуждается в специальном обсуждении вблизи так называемых точек поворота, где классический импульс стремится к нулю. Из курса квантовой механики известно, что эту сложность можно преодолеть двумя способами. Первый заключается в более детальном исследовании уравнения Шредингера вблизи точки поворота (потенциал аппроксимируется прямой линией), а затем найденные решения подшиваются к квазиклассическим волновым функциям. Другой способ основан на аналитическом продолжении, где точки поворота "обходятся" в комплексной плоскости.

В формализме интеграла по траекториям применяют второй метод. Проиллюстрируем его на примере задачи о туннелировании через барьер.

Классическое уравнение движения имеет вид

и в области $a<x<b$$a<x<b$ выражение под корнем становится отрицательным. Используя аналитическое продолжение находим

где выбранный знак обеспечивает правильные аналитические свойства пропагатора. Посмотрим как изменяется время при движении вдоль такой траектории. Для этого рассмотрим интеграл

Таким образом, туннелирование под барьером соответствует мнимому времени. Изменение времени при движении вдоль траектории показано на рисунке.

Для пропагатора получаем:

Последний множитель соответствует амплитуде прохождения через барьер $A_{+}$$A_+$. Вероятность туннелирования