Формула Гельфанда-Яглома

Список литературы:

R. Rattazzi, "The Path Integral approach to Quantum Mechanics", глава 3.1.
R. Rosenfelder, "Path Integrals in Quantum Physics", глава 1.3.

Формула Гельфанда-ЯгломаМотивация: квазиклассическое приближениеКвадратичные лагранжианыМетод Гельфанда-ЯгломаСвязь с классическим действием

Мотивация: квазиклассическое приближение

$x_i$ $x_f$ $T$ . На языке функционального интеграла мы можем записать:

\begin{matrix} (1) & U (x_{i}, x_{f}; T) = \int D x e^{i S [x] / ℏ} . \end{matrix}

$y$ $x_{cl}$ $x=x_{cl}+y$ . В этом случае находим:

\begin{matrix} (2) & U (x_{i}, x_{f}; T) = e^{i S [x_{c l}] / ℏ} \int D y \exp (\frac{i}{ℏ} [\frac{1}{2} \frac{δ^{2} S}{δ x^{2}} y^{2} + \frac{1}{6} \frac{δ^{3} S}{δ x^{3}} y^{3} + \dots]) . \end{matrix}

$y = \sqrt{\hbar} \tilde y$ и тогда:

\begin{matrix} (3) & U (x_{i}, x_{f}; T) = N e^{i S [x_{c l}] / ℏ} \int D \tilde{y} \exp (i \frac{1}{2} \frac{δ^{2} S}{δ x^{2}} {\tilde{y}}^{2} + \sqrt{ℏ} O ({\tilde{y}}^{3})) . \end{matrix}

$\hbar \to 0$ мы можем ограничиться квадратичным членом и таким способом должны построить квазиклассическое приближение. Логика этого построения ничем не отличается от логики взятия интегралов методом перевала.

$S[x] = \int_{t_a}^{t_b} dt [m \dot x^2/2 - V(x)]$ $V(x)$ , мы ранее получали (см. семинар 3, упражнение 1):

\begin{matrix} (4) & S [x_{c l} + y] = S [x_{c l}] + \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t [\frac{m}{2} {\dot{y}}^{2} (t) - \frac{1}{2} V^{″} (x_{c l} (t)) y^{2} (t)] + \dots . \end{matrix}

Таким образом, квадратичная часть соответствует осциллятору, частота которого зависит от времени

\begin{matrix} (5) & ω^{2} (t) = V^{″} (x_{c l} (t)) / m . \end{matrix}

Представляет интерес разобрать вычисление таких функциональных интегралов в общем виде.

Квадратичные лагранжианы

$L = \frac{m}{2} \dot x^2 + b(t)x \dot x - \frac{c(t)}{2} x^2 + d(t) \dot x - e(t) x$ , который без потери общности интегрированием по частям можно привести к виду:

\begin{matrix} (6) & L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - \frac{1}{2} c (t) x^{2} - e (t) x . \end{matrix}

Классический путь удовлетворяет уравнению движения:

\begin{matrix} (7) & m {\ddot{x}}_{c l} + c (t) x_{c l} + e (t) = 0, x_{c l} (t_{a}) = x_{a}, x_{c l} (t_{b}) = x_{b}, \end{matrix}

а для амплитуды перехода мы можем записать:

\begin{matrix} (8) & U (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) = e^{i S_{c l} / ℏ} \int_{y (t_{a}) = 0}^{y (t_{b}) = 0} D y \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t [\frac{m}{2} {\dot{y}}^{2} - \frac{1}{2} c (t) y^{2}]) = e^{i S_{c l} / ℏ} F (t_{b}, t_{a}) . \end{matrix}

$F(t_b,t_a)$ $e(t)$ .

Метод Гельфанда-Яглома

На лекции было показано, что

\begin{matrix} (9) & F (t_{b}, t_{a}) = \sqrt{\frac{m}{2 π i ℏ} \frac{1}{f (t_{b}, t_{a})}}, \end{matrix}

$f(t_b,t_a)$ следует находить путем решения дифференциального уравнения

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial^{2} f (t, t_{a})}{\partial t^{2}} = - \frac{c (t)}{m} f (t, t_{a}), f (t_{a}, t_{a}) = 0, \frac{\partial f (t, t_{a})}{\partial t} |_{t = t_{a}} = 1. \end{matrix}

Упражнение 1. $f(t_b,t_a)$ $c=m\omega^2$ ).
Решение. $f(t,t_a) = At+B$ $f(t,t_a) = t-t_a$ .
$f(t,t_a) = A \sin (\omega(t-t_a)+\phi)$ $f(t,t_a) = \sin(\omega(t-t_a))/\omega$ . То есть
$\begin{matrix} (11) & f (t_{b}, t_{a}) = \frac{\sin (ω T)}{ω}, T = t_{b} - t_{a} . \end{matrix}$

Связь с классическим действием

$S_{cl} (x_b,t_b; x_a,t_a)$ $p_a = -\partial S_{cl}/\partial x_a$ . Действительно,

\begin{matrix} (12) & \frac{\partial S}{\partial x_{a}} = \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t (\frac{\partial L}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_{a}} + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \frac{d}{d t} \frac{\partial x}{\partial x_{a}}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \frac{\partial x}{\partial x_{a}} |_{t_{a}}^{t_{b}} = - \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} |_{t_{a}} \equiv - p_{a}, \end{matrix}

где второе слагаемое было проинтегрировано по частям, после чего мы воспользовались уравнением Эйлера-Лагранжа.

Теперь рассмотрим уравнение движения

\begin{matrix} (13) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \end{matrix}

$p_a$ $x_a$ $x_b$ . При этом

\begin{matrix} (14) & \frac{\partial L}{\partial p_{a}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{J} + \frac{\partial L}{\partial x} J, J = \frac{\partial x_{c l}}{\partial p_{a}}, \end{matrix}

поэтому находим

\begin{matrix} (15) & \begin{array}{r} \frac{d}{d t} (\frac{\partial^{2} L}{\partial {\dot{x}}^{2}} \dot{J}) + \frac{d}{d t} (\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{x} \partial x} J) - \frac{\partial^{2} L}{\partial x \partial \dot{x}} \dot{J} - \frac{\partial^{2} L}{\partial x^{2}} J = \\ \frac{d}{d t} (\frac{\partial^{2} L}{\partial {\dot{x}}^{2}} \dot{J}) + [\frac{d}{d t} (\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{x} \partial x}) - \frac{\partial^{2} L}{\partial x^{2}}] J = 0. \end{array} \end{matrix}

$x_{cl} \to x_a + p_a t/m + \dots$ , то начальные условия равны:

\begin{matrix} (16) & J (0) = 0, \dot{J} (0) = 1 / m . \end{matrix}

$L= \dfrac{1}{2} m \dot x^2 - \dfrac{1}{2}c(t) x^2 - e(t)x$ и получаем, что

\begin{matrix} (17) & m \ddot{J} + c (t) J = 0, \end{matrix}

$mJ(t)=f(t,t_a)$ . Поэтому находим

\begin{matrix} (18) & \frac{1}{f (t_{b}, t_{a})} = \frac{1}{m J (t_{b})} = \frac{1}{m} \frac{1}{\partial x_{b} / \partial p_{a}} = - \frac{1}{m} \frac{\partial^{2} S_{c l}}{\partial x_{a} \partial x_{b}} . \end{matrix}

Таким образом, оператор эволюции для квадратичного действия полностью определяется классическим действием:

\begin{matrix} (19) & U (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) = \sqrt{\frac{1}{2 π i ℏ} | \frac{\partial^{2} S_{c l}}{\partial x_{a} \partial x_{b}} |} e^{i S_{c l} / ℏ} . \end{matrix}

Упражнение 2. Проверить формулу для свободной частицы и гармонического осциллятора.