Статистическая механика и диаграммы Фейнмана

Список литературы:

1. R. Rattazzi, "The Path Integral approach to Quantum Mechanics", глава 2.

Евклидовый интеграл по траекториям

Вместо амплитуды перехода $U(x_f,x_i;t)=⟨x_f|e^{-iHt/\hslash }|x_i⟩$$U(x_f, x_i; t) = \langle x_f | e^{-iHt/\hbar}|x_i \rangle$ рассмотрим аналогичный объект, описывающий эволюцию во мнимом времени $t=-i\beta$$t=-i \beta$

который можно понимать как аналитическое продолжение ранее изученной величины. Формально повторяя шаги первого семинара, мы приходим к выражению

где константа в мере интегрирования $C_E=\sqrt{2\pi \epsilon \hslash /m}$$C_E = \sqrt{2\pi \varepsilon \hbar/m}$ и выражение для действия принимает вид

Обратите внимание на изменение знака между потенциальной и кинетической энергией в сравнении с обычным выражением для действия.

Связь со статистической суммой

На первый взгляд введенный нами объект выглядит очень экзотическим. Попробуем установить его смысл, для этого на время вернемся к выражению для обычной амплитуды перехода

где мы ввели в рассмотрение собственные функции гамильтониана $\hat{H}|{\mathrm{\Psi }}_n⟩=E_n|{\mathrm{\Psi }}_n⟩$$\hat H|\Psi_n \rangle = E_n |\Psi_n \rangle$. Предположим теперь, что начальная и конечная точки совпадают и проинтегрируем наш объект по их положению (взятие следа)

Аналитическим продолжением этого объекта в область мнимого времени $t=-i\beta$$t=-i\beta$ будет

что совпадает с определением статистической суммы для системы, находящейся при температуре $k_{B}T=\hslash /\beta$$k_B T = \hbar/\beta$. На языке функционально интеграла мы можем записать:

где путь начинается и заканчивается в одной точке по положению которой также подразумевается интегрирование.

Упражнение 1. Ранее мы получали выражение для амплитуды перехода гармонического осциллятора в предположении $\omega T<\pi$$\omega T < \pi$:

$$\begin{array}{}\text{(8)}& U(x_b,x_a;T)=\sqrt{\frac{m\omega }{2\pi i\hslash \sin \omega T}}\exp \left({\displaystyle \frac{im\omega }{2\hslash \sin (\omega T)}}[(x_a^2+x_b^2)\cos (\omega T)-2x_a{x}_b]\right).\end{array}$$

Покажите, что $Z_E(\beta )=\int dxU(x,x,-i\beta )$$Z_E(\beta) = \int dx \; U(x,x,-i\beta)$ приводит к правильному выражению для статистической суммы.

Решение. Интеграл по $dx$$dx$ имеет гауссов вид, поэтому находим

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \int dxU(x,x;T)={\displaystyle \frac{1}{2i\sin (\omega T/2)}}={\displaystyle \frac{e^{-i\omega T/2}}{1-e^{-i\omega T}}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i(2n+1)\omega T/2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\beta \omega (n+1/2)}\end{array}$$

Евклидовые корреляционные функции

Пусть начальный и конечный моменты времени равны ${\tau }_i=-\beta /2$$\tau_i = -\beta/2$ и ${\tau }_f=\beta /2$$\tau_f = \beta/2$, тогда функциональный интеграл

где ${\hat{x}}_E(\tau )=e^{H\tau /\hslash }\hat{x}{e}^{-H\tau /\hslash }={\hat{x}}_H(-i\tau )$$\hat x_E (\tau) = e^{H \tau/\hbar} \hat x e^{-H \tau /\hbar} = \hat x_{H}(-i \tau)$. Переход к пределу $\beta \to +\mathrm{\infty }$$\beta \to +\infty$ позволяет выделить основное состояние, поэтому по аналогии с ранее полученными выражениями мы можем записать:

и поэтому

Этот объект связан с ранее изученным поворотом Вика:

Как мы обсуждали ранее, в пределе $\beta \to \mathrm{\infty }$$\beta \to \infty$ значение правой части не зависит от $x_i$$x_i$ и $x_f$$x_f$. Для простоты положим $x_i=x_f=0$$x_i=x_f=0$ и введем в рассмотрение $n$$n$-точечную корреляционную функцию при конечном $\beta$$\beta$:

Индекс D обозначает, что функциональный интеграл вычисляется с учетом граничных условий Дирихле $x_i=x_f=0$$x_i=x_f=0$.

Тепловые корреляционные функции

Теперь определим смысл функционального интеграла с периодическими граничными условиями:

Нормируя это выражение на статистическую сумму $Z=Tr(e^{-\beta H/\hslash })$$Z = Tr(e^{-\beta H/\hbar})$, мы получаем термодинамическое среднее от произведения операторов, упорядоченных во времени:

Здесь индекс P означает, что функциональное интегрирование подразумевается с периодическими граничными условиями.

Подчеркнем, что в пределе $\beta \to \mathrm{\infty }$$\beta \to \infty$ от граничных условий ничего не зависит и выполняется равенство:

Производящий функционал

Добавим в рассмотрение источники, чтобы с их помощью генерировать корреляционные функции. Для граничных условий Дирихле получаем:

и соответственно для периодических граничных условий:

Тогда для корреляционных функций справедливы выражения:

Если евклидово действие имеет сложный вид, то можно решать задачу в ряд по теории возмущений. Пусть

где функциональный интеграл с $L_E^0$$L_E^0$ и источником $J$$J$ может быть вычислен точно. Тогда

В итоге задача про вычисление корреляционных функций сводится к двум шагам. Во-первых, нужно вычислить невозмущенные $U_E^0$$U_E^0$ и/или $Z_E^0$$Z_E^0$, а во-вторых, нужно научиться эффективно вычислять функциональные производные (диаграммы Фейнмана).

Шаг 1: Невозмущенная задача

В качестве примера будем рассматривать гармонический осциллятор $L_E^0={\displaystyle \frac{m{\dot{x}}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}}$$L_E^0 = \dfrac{m \dot x^2}{2} + \dfrac{m \omega^2 x^2}{2}$. Вычисление гауссового интеграла произведем с помощью с помощью метода функции Грина, который проще всего понять на примере аналогии с дискретным конечномерным случаем. Предположим, что мы хотим вычислить интеграл

где $O$$O$ – положительно определенная матрица с размерами $n\times n$$n \times n$, и мы суммируем по повторяющимся индексам. Введем в рассмотрение матрицу $G=O^{-1}$$G = O^{-1}$ (она существует, так как $O$$O$ – положительно определена). Сделаем замену переменных ${\overline{x}}_i=x_i-G_{ij}{J}_j$$\bar x_i = x_i - G_{ij}J_j$ (якобиан преобразования равен единице) и тогда:

Интеграл по $\overline{x}$$\bar x$ теперь тривиально вычисляется (ответ определяется $detO$$det \, O$, но эта константа нас не интересует, поскольку не зависит от источника $J$$J$ и сократится при вычислении корреляторов) и мы находим:

Теперь перенесем эти рассуждения на континуальный случай. Для определенности будем вычислять $U_E^0(\beta ,J)$$U_E^0(\beta,J)$, в случае с $Z_E^0(\beta ,J)$$Z_E^0(\beta,J)$ рассуждения аналогичны. Мы хотим вычислить

где слагаемое с кинетической энергией было проинтегрировано по частям (граничный член равен нулю в силу условий на краях интервала). Дифференциальный оператор $\hat{O}=m(-d^2/d{\tau }^2+{\omega }^2)$$\hat O = m (-d^2/d\tau^2 + \omega^2)$ является эрмитовым и положительно определенным (проверяется интегрированием по частям с учетом гран. условий). Запишем его матричный элемент в базисе из функций типа ${\psi }_{{\tau }_1}=\delta (\tau -{\tau }_1)$$\psi_{\tau_1} = \delta(\tau-\tau_1)$ и ${\psi }_{{\tau }_2}=\delta (\tau -{\tau }_2)$$\psi_{\tau_2} = \delta(\tau-\tau_2)$:

и тогда экспоненту в нашем интеграле можно записать в виде:

Как и в дискретном случае, экспоненту удобно переписать через обратный оператор ${\hat{O}}^{-1}$$\hat O^{-1}$, то есть через функцию Грина $G_D({\tau }_1,{\tau }_2)$$G_D(\tau_1, \tau_2)$, которая удовлетворяет уравнению

с граничными условиями Дирихле:

Упражнение 2. Покажите, что решение сформулированной граничной задачи имеет вид:

$$\begin{array}{}\text{(33)}& G_D({\tau }_1,{\tau }_2)={\displaystyle \frac{1}{m\omega }}{\displaystyle \frac{\sinh (\omega (\beta /2+{\tau }_{<}))\sinh (\omega (\beta /2-{\tau }_{>}))}{\sinh (\omega \beta )}},\end{array}$$

где ${\tau }_{<}=min({\tau }_1,{\tau }_2)$$\tau_< = \min(\tau_1, \tau_2)$ и ${\tau }_{>}=max({\tau }_1,{\tau }_2)$$\tau_> = \max(\tau_1, \tau_2)$.

Упражнение 3. Используя уравнение для функции Грина, покажите, что

$$\begin{array}{}\text{(34)}& O\cdot G_D=\int O({\tau }_1,{\tau }_3)G_D({\tau }_3,{\tau }_2)d{\tau }_3=\delta ({\tau }_1-{\tau }_2).\end{array}$$

Теперь вводим новую переменную интегрирования

и тогда показатель экспоненты можно записать в виде:

Теперь слагаемое с функцией Грина можно вынести из-под интеграла, а интегрирование по переменной $y$$y$ даст константу, которая не зависит от источника J. Окончательно получаем:

Выражение для статистической суммы с учетом источника получается аналогичным образом, только функция Грина $G_P({\tau }_1,{\tau }_2)$$G_P(\tau_1, \tau_2)$ на концах интервала удовлетворяет периодическим граничным условиям:

Упражнение 4. Покажите, что функция Грина $G_P(\tau ,{\tau }^{\prime })={\displaystyle \frac{1}{2m\omega }}{\displaystyle \frac{\cosh (\omega (\beta /2-|\tau -{\tau }^{\prime }|))}{\sinh (\omega \beta /2)}}$$G_P (\tau,\tau') = \dfrac{1}{2m \omega} \dfrac{\cosh(\omega(\beta/2 - |\tau-\tau'|))}{\sinh(\omega \beta/2)}$.

Упражнение 5. Покажите, что при стремлении $\beta \to \mathrm{\infty }$$\beta \to \infty$ зависимость от граничных условий действительно пропадает. Иными словами, покажите, что

$$\begin{array}{}\text{(39)}& \underset{\beta \to \mathrm{\infty }}{lim}{G}_P=\underset{\beta \to \mathrm{\infty }}{lim}{G}_D={\displaystyle \frac{1}{2m\omega }}{e}^{-\omega |{\tau }_1-{\tau }_2|}.\end{array}$$

Шаг 2: Диаграммы Фейнмана

Следующим шагом мы разберем вычисление невозмущенных $n$$n$-точечных корреляционных функций. Согласно результатам предыдущего раздела, мы получаем:

Перемасштабирование источника $J\to J/\sqrt{\hslash }$$J \to J/\sqrt{\hbar}$ позволяет исключить постоянную $\hslash$$\hbar$ из формул. Кроме того, дальнейшее рассмотрение справедливо как для $G_D$$G_D$, так и для $G_P$$G_P$, поэтому этот индекс для краткости мы не пишем.

Прежде всего, заметим, что если число $n$$n$ нечетно, то $G({\tau }_1,\dots ,{\tau }_n)=0$$G(\tau_1, \dots , \tau_n)=0$. Это следует из того факта, что показатель экспоненты квадратичен по $J$$J$ и в конце вычислений мы должны взять предел $J\to 0$$J \to 0$.

Далее переходим к рассмотрению четных $n$$n$. Начнем с самого простого случая $n=2$$n=2$. Производим непосредственные вычисления:

Удобно ввести графические обозначения:

Каждая функциональная производная может действовать либо на экспоненту, давая фактор A, либо на множитель типа A, что приводит к фактору B. После перехода к пределу $J\to 0$$J \to 0$ все факторы типа $A$$A$ обратятся в нуль, поэтому финальное выражение будет состоять из суммы произведений двухточечных функций Грина. Если число точек нечетное, то одна из линий будет содержать фактор типа A, что приведет к нулевому ответу.

Рассмотрим 4-х точечную функцию Грина. Для нее получается выражение

что на графическом языке соответствует сумме диаграмм

Очевидное обобщение этого правила на произвольные четные $n$$n$ известно в теории поля как теорема Вика.

Шаг 3: Ангармонический осциллятор

Теперь рассмотрим ситуацию, когда имеется поправка к потенциальной энергии $V(x)=\lambda x^4$$V(x) = \lambda x^4$. Наша конечная цель – вычислить по теории возмущений ведущую поправку $O(\lambda )$$O(\lambda)$ к свободной энергии. По дороге мы обсудим и более простую задачу – как найти поправку к энергии основного состояния.

Из курса статистической физики мы знаем, что свободная энергия выражается через логарифм статистической суммы. В наших обозначениях,

Также отметим, что в пределе нулевой температуры, $\beta \to \mathrm{\infty }$$\beta \to \infty$, статистическая сумма определяется основным состоянием и свободная энергия совпадает с энергией основного состояния, то есть

Теперь найдем статистическую сумму в главном порядке по $\lambda$$\lambda$ c помощью выражения $(\text{24})$$(\ref{eq:M})$. Получаем следующее соотношение:

Согласно теореме Вика

поэтому

На языке диаграмм Фейнмана этому вкладу соответствует рисунок

Теперь подставляем явное выражение для функции Грина и выполняем интегрирование. Приходим к ответу:

Согласно упражнению 1 выражение для невозмущенной статистической суммы $Z^0(\beta )=1/2\sinh (\omega \beta /2\hslash )$$Z^0(\beta) = 1/2\sinh(\omega \beta/2 \hbar)$, поэтому для свободной энергии получаем:

Переходя к пределу $\beta \to \mathrm{\infty }$$\beta \to \infty$, находим энергию основного состояния:

Проделанная схема предполагает, что поправки более высоких порядков малы, что соответствует условию применимости $\overline{\lambda }=\hslash \lambda /m^2{\omega }^3\ll 1$$\bar \lambda = \hbar \lambda/m^2 \omega^3 \ll 1$.

Полезно посмотреть на это условие применимости с другой стороны. Характерный размер локализации волновой функции осциллятора в основном состоянии равен $X=\sqrt{⟨x^2⟩}\sim \sqrt{\hslash /m\omega }$$X = \sqrt{\langle x^2 \rangle} \sim \sqrt{\hbar/m \omega}$. Поправка, связанная с возмущением мала по сравнению с энергией, если $\hslash \omega \gg \lambda X^4$$\hbar \omega \gg \lambda X^4$ или если $\hslash \lambda /m^2{\omega }^3\ll 1$$\hbar \lambda/m^2 \omega^3 \ll 1$.

Выражение для статистической суммы

Внимательный читатель может быть не удовлетворен обсуждением условий применимости приведенной выше схемы. Действительно, мы использовали выражение для статсуммы, которое имеет вид

В пределе $\beta \to \mathrm{\infty }$$\beta \to \infty$ второе слагаемое стремится к бесконечности и аналогичного поведения следует ожидать и от членов более высокого порядка. На каком основании мы можем их игнорировать?

Более строго было бы сказать, что наша схема подразумевает выполнение двух условий. Во первых, $\overline{\lambda }\beta \omega \ll 1$$\bar \lambda \beta \omega \ll 1$, а во-вторых, что вклад в статсумму от возбужденных уровней должен быть пренебрежимо мал, то есть:

Поскольку такой диапазон параметров $\beta$$\beta$ существует, то наше рассмотрение законно и результату можно доверять.

Теперь посмотрим на ситуацию с другой стороны. Мы знаем выражение для энергии основного состояния

поэтому в пределе $\beta \to \mathrm{\infty }$$\beta \to \infty$ должны получить для статсуммы ответ

то есть поправки более высоких порядков по $\overline{\lambda }\beta \omega$$\bar \lambda \beta \omega$ в выражении ($\text{51}$$\ref{eq:Z}$) должны каким-то образом собраться в экспоненту и это означает, что их структура фиксирована. Можно ли это как-то понять?

Рассмотрим следующий член разложения в формуле ($\text{45}$$\ref{eq:ZZ}$). Для него находим:

Этот вклад дается суммой диаграмм с двумя точками ${\tau }_1$$\tau_1$ и ${\tau }_2$$\tau_2$, причем к каждой точке подсоединены 4 линии. Всего можно придумать 3 принципиально различных способа сделать это, чему соответствуют диаграммы:

В итоге приходим к результату:

Вычисление коэффициентов – неплохое упражнение на комбинаторику. Например, для диаграммы $A$$A$ мы должны соединить 4 линии выходящие из ${\tau }_1$$\tau_1$ с 4 линиями, ведущими в ${\tau }_2$$\tau_2$. Выбираем фиксированную линию, выходящую из первой вершины и соединяем ее со второй вершиной (4 способа). Вторую фиксированную линию мы можем соединить со второй вершиной 3 оставшимися способами. Продолжая по аналогии, находим, что всего существует $4\times 3\times 2\times 1=24$$4\times3\times2\times1=24$ различных способа.

Упражнение 6. Покажите, что для диаграмм B и C комбинаторные множители равны $72$$72$ и 9.

Диаграмма $C$$C$ отличается от диаграмм $A$$A$ и $B$$B$ тем, что она не связанная. Интегралы в ней факторизуются и поэтому для статсуммы во втором порядке можно записать:

Аналогичное будет наблюдаться и в более высоких порядках, причем для любых диаграмм. В общем виде можно записать, что

Упражнение 7. Рассмотрите квантовый одномерный ангармонический осциллятор, действие которого имеет вид

$$\begin{array}{}\text{(60)}& S=\int dt[{\displaystyle \frac{m{\dot{x}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}}-\lambda x^3].\end{array}$$

Используя теорию возмущений в формализме функциональных методов, вычислите ведущую поправку по $\lambda$$\lambda$ к энергии основного состояния в окрестности локального минимума $x=0$$x=0$.