Квантовый осциллятор и производящий функционал

Список литературы:

Р. Фейнман и А. Хибс, "Квантовая механика и интегралы по траекториям", глава 3.11
R. Rosenfelder, "Path Integrals in Quantum Physics", главы 1.2 и 1.7.

Квантовый осциллятор и производящий функционалНапоминание: функциональные производныеАмплитуда перехода для гармонического осциллятораМетод ФурьеФункция Грина как интеграл по путямПроизводящий функционал и теория возмущенийВычисление $Z_0[J]$ для осциллятораУпрощаем ответ для производящего функционала

Напоминание: функциональные производные

Упражнение 1. $S[x] = \int_{t_a}^{t_b} dt [m \dot x^2/2 - V(x)]$ $\frac{\delta S}{\delta x(\sigma)}$ $\frac{\delta^2 S}{\delta x(\sigma) \delta x(\sigma')}$ , а также построить разложение в ряд Тейлора в окрестности классической траектории.

Решение. Применяем правило дифференцирования сложной функции и находим:

\begin{matrix} (1) & \frac{δ S}{δ x (σ)} = \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t [m \dot{x} (t) \frac{δ \dot{x} (t)}{δ x (σ)} - V^{'} (x (t)) \frac{δ x (t)}{δ x (σ)}] . \end{matrix}

$\frac{\delta x(t)}{\delta x(\sigma)} = \delta(t-\sigma)$ $\frac{\delta \dot x(t)}{\delta x(\sigma)} = \frac{d}{dt} \delta(t-\sigma) = -\frac{d}{d\sigma} \delta(t-\sigma)$ , что приводит нас к выражению

\begin{matrix} (2) & \frac{δ S}{δ x (σ)} = - m \ddot{x} (σ) - V^{'} (x (σ)) . \end{matrix}

Равенство нулю этой вариации приводит нас ко второму закону Ньютона, который определяет классическую траекторию. Если от этого выражения взять еще одну функциональную производную, то получим

\begin{matrix} (3) & \frac{δ^{2} S}{δ x (σ) δ x (σ^{'})} = [- m \frac{d^{2}}{d σ^{2}} - V^{″} (x (σ))] δ (σ - σ^{'}) . \end{matrix}

$S[x_{cl}+y]$ в ряд Тейлора:

\begin{matrix} (4) & \begin{array}{r} S [x_{c l} + y] = S [x_{c l}] + \int_{t_{a}}^{t_{b}} d σ \frac{δ S}{δ x_{c l} (σ)} y (σ) + \frac{1}{2} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d σ \int_{t_{a}}^{t_{b}} d σ^{'} \frac{δ^{2} S}{δ x_{c l} (σ) δ x_{c l} (σ^{'})} y (σ) y (σ^{'}) + \dots = \\ = S [x_{c l}] + \frac{1}{2} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d σ \int_{t_{a}}^{t_{b}} d σ^{'} y (σ) y (σ^{'}) [- m \frac{d^{2}}{d σ^{2}} - V^{″} (x_{c l} (σ))] δ (σ - σ^{'}) + \dots = \\ = S [x_{c l}] + \int_{t_{a}}^{t_{b}} d σ [\frac{m}{2} {\dot{y}}^{2} (σ) - \frac{1}{2} V^{″} (x_{c l} (σ)) y^{2} (σ)] + \dots . \end{array} \end{matrix}

Амплитуда перехода для гармонического осциллятора

Наша цель – вычислить пропагатор для гармонического осциллятора с помощью нового метода, связанного с переходом в пространство Фурье. Запишем выражение для пропагатора в терминах интеграла по путям:

\begin{matrix} (5) & U (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) = \int_{x (t_{a}) = x_{a}}^{x (t_{b}) = x_{b}} D x (t) \exp [\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t (\frac{m}{2} {\dot{x}}^{2} - \frac{m ω^{2}}{2} x^{2})] . \end{matrix}

$x(t)=x_{cl}(t)+\delta x(t)$ , где первое слагаемое удовлетворяет

\begin{matrix} (6) & {\ddot{x}}_{c l} + ω^{2} x_{c l} = 0, x_{c l} (t_{a}) = x_{a}, x_{c l} (t_{b}) = x_{b} . \end{matrix}

Эта подстановка позволяет записать действие в виде суммы двух слагаемых:

\begin{matrix} (7) & S = S_{c l} + \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t (\frac{m}{2} δ {\dot{x}}^{2} - \frac{m ω^{2}}{2} δ x^{2}), \end{matrix}

где классическое действие имеет вид:

\begin{matrix} (8) & S_{c l} = \frac{m ω}{2 \sin (ω T)} [(x_{a}^{2} + x_{b}^{2}) \cos (ω T) - 2 x_{a} x_{b}], T = t_{b} - t_{a} . \end{matrix}

Упражнение 2. $x_{cl} (t)$ .
Упражнение 3. $x(t) = x_{cl}(t) + y(t)$ $S[x(t)]$ приводит к выражению
$\begin{matrix} (9) & S [x_{c l} + y] = S [x_{c l}] + \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{δ S}{δ x_{c l} (t)} y (t) + \frac{1}{2} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t^{'} \frac{δ^{2} S}{δ x_{c l} (t) δ x_{c l} (t^{'})} y (t) y (t^{'}), \end{matrix}$
где ряд Тейлора заканчивается на третьем слагаемом, поскольку действие квадратично. Второе слагаемое в правой части равно нулю, поскольку классическая траектория удовлетворяет принципу наименьшего действия. Найдите третье слагаемое.
Решение. Воспользуйтесь результатом упражнения 1.

$U(x_b,x_a;T) = F(T) e^{i S_{cl}/\hbar}$ , где флуктуационный фактор

\begin{matrix} (10) & F (T) = \int_{δ x (0) = 0}^{δ x (T) = 0} D δ x (t) \exp [\frac{i}{ℏ} \int_{0}^{T} d t (\frac{m}{2} δ {\dot{x}}^{2} - \frac{m ω^{2}}{2} δ x^{2})] . \end{matrix}

Метод Фурье

$\delta x(t)$ $T$ , то эту функцию можно разложить в ряд Фурье:

\begin{matrix} (11) & δ x (t) = \sum_{n} a_{n} \sin \frac{π n t}{T} . \end{matrix}

$t$ $a_n$ $\delta x_1, \delta x_2, \dots, \delta x_{N-1}$ $a_1, a_2, \dots a_{N-1}$ $\omega, m$ $\hbar$ $\omega$ $F(T) = \sqrt{m/2\pi i \hbar T}$ $\omega=0$ (свободная частица).

Интеграл для действия перепишем через ряды Фурье. Для кинетической энергии получаем

\begin{matrix} (12) & \int_{0}^{T} d t δ {\dot{x}}^{2} = \sum_{n} \sum_{m} a_{n} a_{m} \frac{π n}{T} \frac{π m}{T} \int_{0}^{T} d t \cos \frac{π n t}{T} \cos \frac{π m t}{T} = \frac{T}{2} \sum_{n} a_{n}^{2} {(\frac{π n}{T})}^{2}, \end{matrix}

и аналогичным образом для потенциальной энергии

\begin{matrix} (13) & \int_{0}^{T} d t δ x^{2} = \frac{T}{2} \sum_{n} a_{n}^{2} . \end{matrix}

В итоге приходим к выражению

\begin{matrix} (14) & F (T) = c o n s t \int_{- \infty}^{+ \infty} d a_{1} \dots d a_{N - 1} \exp {\frac{i m T}{4 ℏ} \sum_{k = 1}^{N - 1} [{(\frac{k π}{T})}^{2} - ω^{2}] a_{n}^{2}} . \end{matrix}

Получаем произведение гауссовых интегралов, каждый из которых легко вычисляется. Поэтому,

\begin{matrix} (15) & F (T) = c o n s t^{'} {[\prod_{k = 1}^{N - 1} (1 - \frac{ω^{2} T^{2}}{π^{2} k^{2}})]}^{- 1 / 2} \to c o n s t^{'} {(\frac{\sin ω T}{ω T})}^{- 1 / 2}, N \to \infty . \end{matrix}

$T<\pi/\omega$ ):

\begin{matrix} (16) & F (T) = \sqrt{\frac{m ω}{2 π i ℏ \sin ω T}} . \end{matrix}

Упражнение 4. Выше мы воспользовались формулой, которая впервые была получена Леонардом Эйлером
$\begin{matrix} (17) & \frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^{\infty} [1 - {(\frac{x}{n π})}^{2}] . \end{matrix}$
Попробуйте осознать, почему она справедлива. Строгое доказательство не составит труда найти в интернете.

Функция Грина как интеграл по путям

Центральным объектом, который мы хотим научиться вычислять, является функция Грина

\begin{matrix} (18) & G_{A B} (t_{1}, t_{2}) = ⟨ 0 | T [{\hat{A}}_{H} (t_{1}) {\hat{B}}_{H} (t_{2})] | 0 ⟩, \end{matrix}

$\hat O_H(t) = e^{i \hat H t} \hat O e^{-i \hat H t}$ $|0\rangle$ – основное состояние системы (ground state). Все физически важные величины (энергия основного состояния, средние значения операторов при измерениях и т. п.) можно выразить через функции Грина такого рода (примеры будут ниже).

Преобразуем выражение для функции Грина, используя полный набор волновых функций в координатном представлении

\begin{matrix} (19) & 1 = \int d q | q ⟩ ⟨ q | = \int d q e^{i H t} | q ⟩ ⟨ q | e^{- i H t}, \end{matrix}

и тогда получаем

\begin{matrix} (20) & G_{A B} (t_{1}, t_{2}) = \int d q d q^{'} ⟨ 0 | e^{i H t^{'}} | q^{'} ⟩ ⟨ q^{'} | e^{- i H t^{'}} T [{\hat{A}}_{H} (t_{1}) {\hat{B}}_{H} (t_{2})] e^{i H t} | q ⟩ ⟨ q | e^{- i H t} | 0 ⟩ . \end{matrix}

Боковые факторы равны

\begin{matrix} (21) & ⟨ 0 | e^{i H t^{'}} | q^{'} ⟩ = e^{i E_{0} t^{'}} ⟨ 0 | q^{'} ⟩ = e^{i E_{0} t^{'}} ψ_{0}^{*} (q^{'}), \end{matrix}

$\hat A = A(\hat x, \hat p)$ $\hat B = B(\hat x, \hat p)$ , то его можно выразить через функциональный интеграл

\begin{matrix} (22) & ⟨ q^{'} | e^{- i H t^{'}} T [{\hat{A}}_{H} (t_{1}) {\hat{B}}_{H} (t_{2})] e^{i H t} | q ⟩ = \int D x D p A (x (t_{1}), p (t_{1})) B (x (t_{2}), p (t_{2})) e^{i S [x (t), p (t)]} . \end{matrix}

$\psi_0(q)$ неизвестна, поэтому хотелось бы уметь "генерировать" ее. Чтобы понять как это сделать, рассмотрим соотношение

\begin{matrix} (23) & ⟨ q^{'} | e^{- i \hat{H} t^{'}} \hat{O} e^{i \hat{H} t} | q ⟩ = \sum_{n, m} ψ_{m} (q^{'}) e^{- i E_{m} t^{'}} ⟨ m | \hat{O} | n ⟩ e^{i E_{n} t} ψ_{n}^{*} (q), \end{matrix}

$t \to i \infty$ $t' \to -i \infty$ . В этом случае:

\begin{matrix} (24) & ⟨ q^{'} | e^{- i \hat{H} t^{'}} \hat{O} e^{i \hat{H} t} | q ⟩ \to ψ_{0} (q^{'}) ψ_{0}^{*} (q) e^{- E_{0} (| t | + | t^{'} |)} ⟨ 0 | \hat{O} | 0 ⟩ = lim_{t \to i \infty; t^{'} \to - i \infty} ⟨ q^{'} | e^{- i H (t^{'} - t)} | q ⟩ ⟨ 0 | \hat{O} | 0 ⟩ . \end{matrix}

$\hat O$ $T[\hat A_{H}(t_1) \hat B_H(t_2)]$ , и тогда для функции Грина справедливо:

\begin{matrix} (25) & G_{A B} (t_{1}, t_{2}) = lim_{t \to i \infty; t^{'} \to - i \infty} \frac{⟨ q^{'} | e^{- i H t^{'}} T [{\hat{A}}_{H} (t_{1}) {\hat{B}}_{H} (t_{2})] e^{i H t} | q ⟩}{⟨ q^{'} | e^{- i H (t^{'} - t)} | q ⟩} . \end{matrix}

Это выражение можно переписать через функциональный интеграл:

\begin{matrix} (26) & G_{A B} (t_{1}, t_{2}) = lim_{t \to i \infty; t^{'} \to - i \infty} \frac{\int D x D p A (x (t_{1}), p (t_{1})) B (x (t_{2}), p (t_{2})) e^{i S [x (t), p (t)]}}{\int D x D p e^{i S [x (t), p (t)]}} . \end{matrix}

$n$ -точечную корреляционную функцию

\begin{matrix} (27) & G (t_{1}, \dots, t_{j}, t_{j + 1}, t_{n}) = ⟨ 0 | T [{\hat{x}}_{H} (t_{1}) \dots {\hat{x}}_{H} (t_{j}) {\hat{p}}_{H} (t_{j + 1}) \dots {\hat{p}}_{H} (t_{n})] | 0 ⟩, \end{matrix}

которую можно вычислять через функциональный интеграл

\begin{matrix} (28) & G (t_{1}, \dots, t_{j}, t_{j + 1}, t_{n}) = lim_{t \to i \infty; t^{'} \to - i \infty} \frac{\int D x D p x (t_{1}) \dots x (t_{j}) p (t_{j + 1}) \dots p (t_{n}) e^{i S [x (t), p (t)]}}{\int D x D p e^{i S [x (t), p (t)]}} . \end{matrix}

$\pm i \infty$ не обязательно вдоль мнимой оси (Euclidean Path Integral), можно взять любой другой подходящий контур.

Производящий функционал и теория возмущений

$S$ добавить источники, то можно построить производящий функционал

\begin{matrix} (29) & Z [J, K] = \int D x D p \exp {\frac{i}{ℏ} S [x, p] + \frac{i}{ℏ} \int d t [J (t) x (t) + K (t) p (t)]}, \end{matrix}

и тогда функцию Грина можно вычислять с помощью соотношения

\begin{matrix} (30) & G (t_{1}, \dots, t_{j}, t_{j + 1}, t_{n}) = (- i ℏ)^{n} \frac{δ^{j}}{δ J (t_{1}) \dots δ J (t_{j})} \frac{δ^{n - j}}{δ K (t_{j + 1}) δ K (t_{n})} \frac{Z [J, K]}{Z [0, 0]} |_{J = K = 0} . \end{matrix}

$Z[J,K]$ нельзя вычислить непосредственно. Рассмотрим ситуацию, когда удается представить гамильтониан в виде

\begin{matrix} (31) & \hat{H} = {\hat{H}}_{0} + V (\hat{x}, \hat{p}), \end{matrix}

$Z_0[J,K]$ известен. Тогда формально можно записать

\begin{matrix} (32) & \begin{array}{r} Z [J, K] = \int D x D p \exp [- \frac{i}{ℏ} \int d t V (x (t), p (t))] \exp {\frac{i}{ℏ} S_{0} + \frac{i}{ℏ} \int d t [J (t) x (t) + K (t) p (t)]} \\ = \exp [- \frac{i}{ℏ} \int d t V (\frac{ℏ}{i} \frac{δ}{δ J (t)}, \frac{ℏ}{i} \frac{δ}{δ K (t)})] Z_{0} [J, K] . \end{array} \end{matrix}

В дальнейшем экспоненту можно разложить в ряд, что приводит к построению теории возмущений.

$Z_0[J]$ для осциллятора

Формально, нам нужно вычислить функциональный интеграл

\begin{matrix} (33) & Z_{0} [J] = \int D x \exp {\frac{i}{ℏ} S_{0} [x] + \frac{i}{ℏ} \int d t J (t) x (t)}, \end{matrix}

$x(t)$ $x(t)=x_{cl}(t)+ y(t)$ $S[x_{cl}+y] = S[x_{cl}] + \delta S$ $\delta S$ $J(t)$ , поскольку эта флуктуационная часть квадратична по отклонениям. Поэтому ответ будет иметь вид:

\begin{matrix} (34) & Z_{0} [J] = c o n s t \cdot e^{i S_{c l} / ℏ}, \end{matrix}

$(\ref{eq:F})$ . Отметим, что эта константа сокращается в дальнейшем при вычислении функций Грина.

$J(t)$ . Классическое уравнение движения имеет вид:

\begin{matrix} (35) & {\ddot{x}}_{c l} + ω^{2} x_{c l} = J (t) / m, x_{c l} (t_{a}) = x_{a}, x_{c l} (t_{b}) = x_{b} . \end{matrix}

Если решение этого уравнения подставить в выражение для действия в присутствии источника, то получится результат:

\begin{matrix} (36) & \begin{array}{r} S_{c l} = \frac{m ω}{2 \sin (ω T)} {(x_{a}^{2} + x_{b}^{2}) \cos (ω T) - 2 x_{a} x_{b} + \frac{2 x_{b}}{m ω} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t J (t) \sin [ω (t - t_{a})] + \frac{2 x_{a}}{m ω} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t J (t) \sin [ω (t_{b} - t)] \\ - \frac{2}{m^{2} ω^{2}} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \int_{t_{a}}^{t} d t^{'} J (t) J (t^{'}) \sin [ω (t_{b} - t)] \sin [ω (t^{'} - t_{a})]}, T = t_{b} - t_{a} . \end{array} \end{matrix}

Упрощаем ответ для производящего функционала

$Z_0[J]$ $(\ref{eq:G})$ $x_a=x_b=0$ , как мы увидим в дальнейшем на самом деле можно использовать любые граничные условия. Сейчас такое упрощение позволит нам сконцентрировать внимание на сути происходящего. С учетом вышесказанного, получаем

\begin{matrix} (37) & S_{c l} = - \frac{1}{m ω \sin [ω (t_{b} - t_{a})]} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \int_{t_{a}}^{t} d t^{'} J (t) J (t^{'}) \sin [ω (t_{b} - t)] \sin [ω (t^{'} - t_{a})] . \end{matrix}

$t$ $t_a = -\tau + i \kappa \tau$ $t_b = \tau - i \kappa \tau$ $\kappa>0$ $J(t)$ $|t|<\tau$ $\tau \to \infty$ .

$\tau \to \infty$ ):

\begin{matrix} (38) & \sin [ω (t_{b} - t_{a})] \to \frac{e^{2 ω κ τ} e^{2 i ω τ}}{2 i}, \sin [ω (t_{b} - t)] \to \frac{e^{ω κ τ} e^{i ω (τ - t)}}{2 i}, \sin [ω (t^{'} - t_{a})] \to \frac{e^{ω κ τ} e^{i ω (t^{'} + τ)}}{2 i}, \end{matrix}

и классическое действие принимает вид:

\begin{matrix} (39) & S_{c l} = \frac{i}{2 m ω} \int_{- \infty}^{+ \infty} d t \int_{- \infty}^{t} d t^{'} J (t) J (t^{'}) e^{i ω (t^{'} - t)} = \frac{i}{4 m ω} \int_{- \infty}^{+ \infty} d t \int_{- \infty}^{+ \infty} d t^{'} J (t) J (t^{'}) e^{- i ω | t - t^{'} |} . \end{matrix}

Окончательно находим, что

\begin{matrix} (40) & Z_{0} [J] = c o n s t \cdot e^{i S_{c l}} = c o n s t \cdot \exp [- \frac{1}{4 m ω} \int_{- \infty}^{+ \infty} d t d t^{'} J (t) J (t^{'}) e^{- i ω | t - t^{'} |}] . \end{matrix}

$x_a$ $x_b$ $J$ $J$ $t_a$ $t_b$ $x_a$ $x_b$ окончательный ответ не зависит.