Основы интегрирования по путям в квантовой механике, часть 2.

Список литературы:

1. Р. Фейнман и А. Хибс, "Квантовая механика и интегралы по траекториям", глава 3.5
2. R. Rattazzi, "The Path Integral approach to Quantum Mechanics", глава 1.4.

Классическая траектория и квантовые флуктуации

На прошлом занятии мы установили, что амплитуда перехода частицы из точки $x_a$$x_a$ в другую точку $x_b$$x_b$ за время $T$$T$ может быть представлена в виде функционального интеграла

Рассмотрим альтернативный способ вычислить такой объект на примере свободной частицы. Для этого представим все возможные траектории $x(t)$$x(t)$ в виде классического пути и отклонений от него, то есть

Поскольку начальная и конечная точки траектории фиксированы, то $\delta x(t_a)=\delta x(t_b)=0$$\delta x(t_a)=\delta x(t_b) = 0$. Отклонения $\delta x(t)$$\delta x(t)$ связаны с квантовыми флуктуациями.

Найдем действие для свободной частицы, воспользовавшись введенной декомпозицией:

Отсутствие смешанного члена не является уникальным для свободного движения, это общее свойство, которое вытекает из того, что классический путь удовлетворяет принципу наименьшего действия. Поэтому в самом общем виде можно записать:

Тогда для амплитуды перехода частицы справедливо:

Для свободной частицы находим

Отметим, что поскольку $\delta x(t)$$\delta x(t)$ равна нулю на концах, то фактор $F_0$$F_0$ не зависит от $x_a$$x_a$ и $x_b$$x_b$, а определяется исключительно параметрами $t_a$$t_a$ и $t_b$$t_b$. Трансляционная инвариантность во времени сводит эту зависимость к $F_0(t_a,t_b)=F_0(t_b-t_a)$$F_0 (t_a,t_b) = F_0 (t_b-t_a)$. Выражение для классического действия имеет вид:

Фактор $F_0(t_b-t_a)$$F_0(t_b-t_a)$ вычислите самостоятельно в качестве упражнения и сравните с результатом, полученным на прошлом семинаре. Правильный ответ имеет вид:

Представление Гейзенберга

В представлении Шредингера операторы физических величин не зависят от времени, зато эта зависимость содержится в волновых функциях, что в конечном счете и приводит к тому, что средние значения, измеряемые экспериментально, зависят от времени. Математический аппарат квантовой механики можно сформулировать альтернативным образом, перенеся всю зависимость от времени на операторы. Такой подход известен как представление Гейзенберга. Если физическая величина описывается оператором $\hat{O}$$\hat O$ в представлении Шредингера, то в представлении Гейзенберга ей соответствует оператор

В частности, для оператора координаты $\hat{x}$$\hat x$ получаем

В представлении Гейзенберга также можно ввести базисные вектора. Пусть задан момент времени $t$$t$, рассмотрим вектор

который является собственным для $\hat{x}(t)$$\hat x(t)$ (обратите внимание на знак "+" в экспоненте, который противоположен знаку "-", соответствующему эволюции в представлении Шредингера), поскольку

В этих терминах, амплитуда перехода из состояния $x_i$$x_i$ в момент времени $t_i$$t_i$ в состояние $x_f$$x_f$ в момент времени $t_f$$t_f$ может быть записана как

Усредняем с помощью интеграла по траекториям

Теперь рассмотрим произвольную функцию $A(x)$$A(x)$. Она определяет оператор в Гильбертовом пространстве

Рассмотрим функциональный интеграл

Здесь мы разбили всю траекторию движения на два участка $a$$a$ и $b$$b$, которые соединены точкой $x_1$$x_1$ в момент времени $t_1$$t_1$. Аналогичным образом можно установить смысл и более общего функционального интеграла, под которым стоит разновременное произведение двух функций. Повторяя аналогичные рассуждения, получаем:

где хронологическое упорядочение имеет смысл:

Упражнение 1. С помощью функционального интеграла вычислите $⟨x_f,t_f|\hat{x}(t)|x_i,t_i⟩$$\langle x_f, t_f| \hat x(t) |x_i, t_i \rangle$ для свободной частицы.

Решение. Нам необходимо вычислить функциональный интеграл

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \int \mathcal{D}xx(t)e^{iS[x]/\hslash }.\end{array}$$

Представим все возможные пути в виде $x(t)=x_{cl}(t)+\delta x(t)$$x(t)= x_{cl}(t)+\delta x(t)$, где соответствующие величины были определены в первом разделе. Для действия воспользуемся найденным представлением

$$\begin{array}{}\text{(19)}& S=S_{cl}+{\displaystyle \frac{m}{2}}{\int }_{t_a}^{t_b}dt[\delta \dot{x}(t){]}^2.\end{array}$$

В итоге получаем

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \int \mathcal{D}xx(t)e^{iS[x]/\hslash }=x_{cl}(t)e^{i{S}_{cl}/\hslash }{F}_0(t_b-t_a)=x_{cl}(t)U(x_a,x_b;T).\end{array}$$

Источники и дифференцирование по ним

Экспериментально, чтобы определить свойства физической системы (например, атома), мы позволяем ей взаимодействовать с внешним возмущением (источник, например, электромагнитная волна) и изучаем отклик на это воздействие. Подобная схема имеет формальный аналог и в теоретическом описании.

Рассмотрим систему с лагранжианом $L(x,\dot{x})$$L(x,\dot x)$ и позволим ей взаимодействовать с произвольным внешним источником, то есть добавим слагаемое

Теперь амплитуда перехода из состояния $x_a$$x_a$ в состояние $x_b$$x_b$ становится функционалом от $f(t)$$f(t)$:

Этот функционал содержит в себе всю физическую информацию, которая нужна для нахождения средних значений $\hat{x}$$\hat x$ (и любых операторов, которые являются функциями $x$$x$). В частности,

Свободная частица с источником

В качестве примера рассмотрим движение свободной частицы. Добавляем слагаемое с источником в действие и получаем:

Траектории представим в виде $x(t)=x_{cl}(t)+\delta x(t)$$x(t)=x_{cl}(t)+\delta x(t)$. Эта подстановка позволяет представить действие $S$$S$ в виде суммы $S=S_{cl}+\delta S$$S=S_{cl} + \delta S$, причем флуктуационная часть не будет зависеть от источника $f(t)$$f(t)$, так как она квадратична по отклонениям $\delta x$$\delta x$. Поэтому выражение для $\delta S$$\delta S$ остается прежним и определяется движением для свободной частицы. Формально это следует из равенства:

Таким образом, получаем

Теперь вычислим классическое действие $S_{cl}$$S_{cl}$. Для этого нужно найти классическую траекторию, которая удовлетворяет уравнению движения:

Ответ удобно представить в виде $x_{cl}=x_{free}+x_f$$x_{cl} = x_{free} + x_f$, где первое слагаемое соответствует движению в случае равенства нулю внешней силы

а второе удовлетворяет уравнению

Решение этой граничной задачи запишем через функцию Грина

Упражнение 2. Найдите функцию Грина $G(t,t^{\prime })$$G(t,t')$.

Решение. Искомая функция Грина удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \frac{d^2}{d{t}^2}}G(t,t^{\prime })={\displaystyle \frac{1}{m}}\delta (t-t^{\prime })$$\dfrac{d^2}{dt^2}G(t,t') = \dfrac{1}{m}\delta(t-t')$ и граничным условиям $G(0,t^{\prime })=G(T,t^{\prime })=0$$G(0,t')=G(T,t')=0$. Найдем левое $u(t)$$u(t)$ и правое $v(t)$$v(t)$ решения.

Для левого решения имеем ${\partial }_t^{2}u=0$$\partial_t^2 u =0$ и $u(0)=0$$u(0) = 0$, откуда следует, что $u(t)=t$$u(t) = t$. Аналогично, для правого решения найдем $v(t)=t-T$$v(t) = t-T$. Вронскиан решений равен $W(t)=u{v}^{\prime }-u^{\prime }v=T$$W(t) = uv'-u'v = T$. Окончательно находим:

$$\begin{array}{}\text{(31)}& \begin{array}{c}G(t,t^{\prime })={\displaystyle \frac{1}{mT}}\{\begin{array}{ll}t(t^{\prime }-T),& \text{если }t<t^{\prime }\\ (t-T)t^{\prime },& \text{если }t>t^{\prime }\end{array}\end{array}\end{array}$$

После нахождения классической траектории мы можем приступить к нахождению классического действия. Получаем

Здесь $S_{free}$$S_{free}$ определяется выражением $(\text{7})$$(\ref{eq:S_free})$, а для последнего слагаемого находим:

Собирая все вместе, получаем окончательный ответ:

Упражнение 3. Воспроизведите результат упражнения 1 с помощью соотношения $(\text{23})$$(\ref{eq:der})$.

Упражнение 4. Вычислите парную корреляционную функцию $⟨x_b,t_b|T[\hat{x}(t)\hat{x}(t^{\prime })]|x_a,t_a⟩$$\langle x_b,t_b| T[\hat x(t) \hat x(t')]|x_a,t_a \rangle$.

Решение. Необходимо вычислить вторую производную

$$\begin{array}{}\text{(35)}& {\displaystyle \frac{\hslash \delta }{i\delta f(t)}}{\displaystyle \frac{\hslash \delta }{i\delta f(t^{\prime })}}U(x_a,x_b,T;f){|}_{f=0}=U(x_a,x_b,T)[x_{free}(t)x_{free}(t^{\prime })-i\hslash G(t,t^{\prime })].\end{array}$$

Флуктуации квадрата скорости и типичная траектория

Упражнение 5. С помощью функционального интеграла вычислите величину

$$\begin{array}{}\text{(36)}& ⟨x_b,t_b|T\left[{\displaystyle \frac{(\hat{x}(t+\tau )-\hat{x}(t){)}^2}{{\tau }^2}}\right]|x_a,t_a⟩,\end{array}$$

где предполагается, что $\tau \ll T$$\tau \ll T$. Покажите, что ответ будет иметь вид $I\approx U(x_a,x_b,T)[{\dot{x}}_{free}^2+{\displaystyle \frac{i\hslash }{m\tau }}].$$I \approx U(x_a,x_b,T) \left[ \dot x_{free}^2 + \dfrac{i \hbar}{m\tau} \right].$

Первое слагаемое соответствует квадрату скорости при движении по классической траектории, а второе описывает квантовые флуктуации. Если время $\tau <\hslash /(m{\dot{x}}_{free}^2)$$\tau < \hbar/(m \dot x_{free}^2)$, то второй член доминирует.

Полученный результат применим, если в качестве $\tau$$\tau$ взять время $\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$ – элементарный шаг в дискретной версии функционального интеграла. Тогда мы приходим к оценке

Это означает, что в пределе $\mathrm{\Delta }t\to 0$$\Delta t \to 0$ типичное отклонение $\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$ намного больше ожидаемого, то есть типичная траектория "скачкообразна".