Основы интегрирования по путям в квантовой механике, часть 1.

Список литературы:

1. М. Пескин и Д. Шредер, "Введение в квантовую теорию поля", глава 9.1.
2. Р. Фейнман и А. Хибс, "Квантовая механика и интегралы по траекториям", главы 1, 2 и 3.1

Приглашение к теме: эксперимент с двойной щелью

Эксперимент можно объяснить, если ввести в рассмотрение некоторую комплексную величину $\phi (x)$$\varphi(x)$ – амплитуду вероятности попасть в точку с координатой $x$$x$. Эта величина равна сумме двух вкладов: амплитуды ${\phi }_1$$\varphi_1$ попасть в точку с координатой $x$$x$ через отверстие $1$$1$ и амплитуды ${\phi }_2$$\varphi_2$ попадания в ту же точку через отверстие $2$$2$. Тогда:

Амплитуда перехода частицы из точки $x_a$$x_a$ в другую точку $x_b$$x_b$ за время $T$$T$ равна

и мы хотим представить ее в виде суммы по всем возможным путям, то есть

Амплитуда для каждого конкретного пути записана в виде "чистой" фазы, так как ни один путь не является более важным, чем другие.

Классический предел

В классическом пределе траектория движения $x_{cl}(t)$$x_{cl}(t)$ определяется принципом наименьшего действия. Для частицы с массой $m$$m$, движущейся в потенциальном поле $V(x,t)$$V(x,t)$, которое является функцией координаты и времени, лагранжиан записывается как

$$\begin{array}{}\text{(4)}& L={\displaystyle \frac{m}{2}}{\dot{x}}^2-V(x,t),\end{array}$$

а действие принимает вид

$$\begin{array}{}\text{(5)}& S={\int }_{t_a}^{t_b}dtL(\dot{x},x,t).\end{array}$$

Условие экстремума действия приводит к уравнению Лагранжа

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}\right)-{\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}}=0,\end{array}$$

решение которого и определяет траекторию.

Как же следует определить фазу пути в соотношении ($\text{3}$$\ref{eq:phase}$)? В классическом пределе мы должны получить, что вклад в полную амплитуду дает только один путь. Можно надеяться, что в этом случае интеграл ($\text{3}$$\ref{eq:phase}$) вычисляется методом стационарной фазы, и тогда условие стационарности фазы должно совпасть с принципом наименьшего действия. В итоге возникает желание отождествить фазу с действием $S$$S$ с точностью до множителя. Классический предел соответствует $S\gg \hslash$$S \gg \hbar$, поэтому в качестве фазы мы возьмем $S/\hslash$$S/\hbar$. В итоге получаем:

Упражнение 1. Проверьте, что в эксперименте с двумя щелями полученное выше выражение приводит к правильной интерференционной картине. Для этого покажите, что если путь 2 длиннее пути 1 на величину $d$$d$, то он будет иметь фазу, которая больше на $2\pi d/\lambda$$2 \pi d /\lambda$, где $\lambda =2\pi \hslash /p$$\lambda = 2 \pi \hbar/p$ – длина волны де Бройля для частицы с импульсом $p$$p$.

Решение. Действие для путей равно $S_i=m{v}_i^{2}t/2$$S_i = mv_i^2 t/2$. Пусть длина первого пути равна D, тогда скорость $v_1=D/t$$v_1 = D/t$ и фаза ${\varphi }_1=m{D}^2/(2\hslash t)$$\phi_1 = mD^2/(2 \hbar t)$. Аналогично, для второго пути находим ${\varphi }_2=m(D+d{)}^2/(2\hslash t)$$\phi_2 = m (D+d)^2/(2 \hbar t)$. Следует считать $d\ll D$$d \ll D$, так как частица имеет хорошо определенную скорость и $v_1\approx v_2$$v_1 \approx v_2$. Для разности фаз находим

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathrm{\Delta }\varphi =mDd/(\hslash t)=pd/\hslash .\end{array}$$

Функциональное интегрирование

Для вычисления функционального интеграла в более общем виде следует определить символ $\int \mathcal{D}x$$\int \mathcal{D} x$ в случае, когда число различных путей $x(t)$$x(t)$ бесконечно. Сделаем это с помощью дискретизации. Разобьем временной интервал от $0$$0$ до $T$$T$ на много маленьких кусочков длительностью $\epsilon$$\varepsilon$.

Тогда действие для пути $x(t)$$x(t)$ можно записать в виде

Интеграл по путям определим как

где $C(\epsilon )$$C(\varepsilon)$ – константа, которая будет определена позднее. Мы включили по одному множителю $C(\epsilon )$$C(\varepsilon)$ для каждого из $N$$N$ отрезков по времени. В конце вычислений следует перейти к пределу $\epsilon \to 0.$$\varepsilon \to 0.$

Теперь покажем, что такое определение приводит к правильному выражению для амплитуды перехода частицы $U(x_a,x_b;T)$$U(x_a,x_b;T)$. Для этого рассмотрим добавление самого последнего интервала времени

Как только мы устремляем $\epsilon \to 0$$\varepsilon \to 0$, быстрые осцилляции первого слагаемого в экспоненте ограничивают значения $x^{\prime }$$x'$ теми, которые очень близки к $x_b$$x_b$. Следовательно, можно разложить это выражение по степеням $(x^{\prime }-x_b)$$(x'-x_b)$:

Теперь интеграл по $x^{\prime }$$x'$ имеет гауссов вид и его можно вычислить. В итоге найдем:

Выражение в круглых скобках должно быть равно единице, иначе в пределе $\epsilon \to 0$$\varepsilon \to 0$ получается бессмыслица. Таким образом, находим

кроме того получается, что

то есть амплитуда перехода удовлетворяет уравнению Шредингера как и должно быть.

Отметим, что при $T\to 0$$T \to 0$ справедливо соотношение $U(x_a,x_b;0)=\delta (x_a-x_b)$$U(x_a,x_b;0) = \delta(x_a-x_b)$. Сравним это значение с нашей величиной в случае одного отрезка времени:

В пределе $\epsilon \to 0$$\varepsilon \to 0$ мы как раз получаем $\delta (x_a-x_b)$$\delta(x_a-x_b)$. Таким образом, определения оператора временной эволюции с помощью гамильтониана и с помощью интеграла по путям эквиваленты.

Свободная частица

Упражнение 2. Вычислите $U(x_a,x_b;T)$$U(x_a,x_b;T)$ для свободной частицы с помощью функционального интегрирования.

Решение. Нам необходимо вычислить следующий интеграл

Для начала вычислим интеграл по $x_1$$x_1$, для этого заметим, что

Теперь можно вычислить интеграл по $x_2$$x_2$,

Далее вычисления аналогичны и их можно продолжать по цепочке. Окончательный ответ имеет вид

где мы воспользовались тем, что $T=N\epsilon$$T=N\varepsilon$. Результат, как и следовало ожидать, совпадает с функцией Грина для свободного уравнения Шредингера.

Системы с произвольным $\hat{H}(q,p)$$\hat H(q,p)$

Рассмотрим квантовую систему, которая описывается обобщенной координатой $q$$q$, сопряженным импульсом $p$$p$ и гамильтонианом $H(q,p)$$H(q,p)$, который не зависит от времени. Для сокращения записей положим $\hslash =1$$\hbar=1$. Амплитуда перехода, которую мы хотим вычислить имеет вид

Разобьем временной интервал на $N$$N$ коротких кусков длительностью $\epsilon$$\varepsilon$. Тогда

Теперь между каждым множителем вставим полный набор промежуточных состояний в виде

Вставив такие множители для $k=1,2,\cdots ,N-1$$k=1,2,\cdots,N-1$, мы получим произведение множителей вида

Чтобы записать первый и последний множители в таком виде положим $q_0=q_a$$q_0=q_a$ и $q_N=q_b$$q_N=q_b$.

Далее обратимся к гамильтониану $\hat{H}$$\hat H$ и рассмотрим, слагаемые какого типа он может содержать. Простейшее для вычислений слагаемое является функцией только координат, но не импульсов. Соответствующий матричный элемент равен

По причинам, которые скоро станут ясны, удобно переписать его в виде:

Теперь рассмотрим слагаемое в гамильтониане, которое является функцией только импульсов. Вводя полный набор собственных состояний импульса, получим:

Таким образом, если $\hat{H}$$\hat H$ содержит только слагаемые вида $\hat{f}(q)$$\hat f(q)$ и $\hat{f}(p)$$\hat f(p)$, то его матричный элемент может быть записан в виде:

Было бы удобно, если бы формула ($\text{28}$$\ref{eq:f}$) оставалась справедливой, даже когда $\hat{H}$$\hat H$ содержит произведения $\hat{q}$$\hat q$ и $\hat{p}$$\hat p$. В общем случае это не так, поскольку порядок произведения $\hat{p}$$\hat p$ и $\hat{q}$$\hat q$ влияет на вид левой части, где $\hat{H}$$\hat H$–оператор, но не существенен в правой части, где $H$$H$ – просто функция чисел $p_k$$p_k$ и $q_k$$q_k$. Однако для одного частного случая упорядочения можно сохранить выражение ($\text{28}$$\ref{eq:f}$). Например, комбинация

имеет желаемый вид, потому что $\hat{q}$$\hat q$ появляется симметрично в левой и правой частях. Когда такое случается, то говорят, что гамильтониан упорядочен по Вейлю. Любой гамильтониан может быть упорядочен по Вейлю путем коммутирования $\hat{p}$$\hat p$ и $\hat{q}$$\hat q$; в общем случае такая процедура приводит к появлению добавочных слагаемых.

С этого момента будем считать, что $\hat{H}$$\hat H$ упорядочен по Вейлю, и наш искомый матричный элемент имеет вид:

где мы снова использовали то, что $\epsilon$$\varepsilon$ мало, когда заменяли $1-i\epsilon H$$1-i \varepsilon H$ на $e^{-i\epsilon H}$$e^{-i \varepsilon H}$. Перемножая матричные элементы, для амплитуды перехода приходим к выражению:

где

Выражение в экспоненте является дискретной формой записи выражения (сравните с действием в классической механике)

где функции $q(t)$$q(t)$ закреплены в конечных точках, а функции $p(t)$$p(t)$ – нет. Заметим, что в такой форме мера интегрирования $\mathcal{D}q$$\mathcal{D}q$ не содержит никакой специфической константы. Это выражение – наиболее общая формула для вычисления амплитуд перехода с помощью функциональных интегралов.

Упражнение 3. Для гамильтониана $H=p^2/2m+V(q)$$H=p^2/2m + V(q)$ можно точно взять интегралы по $p$$p$, так как показатель экспоненты квадратичен. Покажите, что в итоге воспроизводится ответ из секции функциональное интегрирование.

Решение. Интеграл по $p_k$$p_k$ будет иметь вид

$$\begin{array}{}\text{(34)}& \int {\displaystyle \frac{d{p}_k}{2\pi }}\exp \left[i\{p_k(q_{k+1}-q_k)-\epsilon p_k^2/(2m)\}\right]={\displaystyle \frac{1}{C(\epsilon )}}\exp [{\displaystyle \frac{im}{2\epsilon }}(q_{k+1}-q_k{)}^2].\end{array}$$

Упражнение 4. Найдите амплитуду перехода $U(q_a,q_b;T)$$U(q_a,q_b;T)$ для свободной частицы с помощью функционального интеграла в координатно-импульсном представлении. Удобно сначала выполнить интегрирование по координатам.

Решение. Выражение для действия можно записать в виде:

$$\begin{array}{}\text{(35)}& S=q_N{p}_{N-1}+\sum _{k=1}^{N-1}{q}_k(p_{k-1}-p_k)-q_0{p}_0-{\displaystyle \frac{\epsilon }{2m}}\sum _{k=0}^{N-1}{p}_k^2.\end{array}$$

После этого интегралы по $q_k$$q_k$ дают $(N-1)$$(N-1)$ дельта-функцию, которые позволяют проинтегрировать по импульсам, начиная с $p_0$$p_0$ и заканчивая $p_{N-2}$$p_{N-2}$. В итоге остается интеграл по $p_{N-1}$$p_{N-1}$:

$$\begin{array}{}\text{(36)}& U(q_a,q_b;T)={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\int dp\exp \left[i\{p(q_b-q_a)-(p^2/2m)T\}\right]=\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{2\pi iT}}}\exp [{\displaystyle \frac{im}{2T}}(q_b-q_a{)}^2].\end{array}$$

Последнюю строчку полезно сравнить со следующей формулой для оператора эволюции:

$$\begin{array}{}\text{(37)}& U(q_a,q_b;T)=⟨q_b|\sum _n|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|e^{-i\hat{H}T}|q_a⟩=\sum _n{\psi }_n(q_b)e^{-i{E}_{n}T}{\psi }_n^{\ast }(q_a),\end{array}$$

откуда заключаем, что $E_p=p^2/2m$$E_p=p^2/2m$ и ${\psi }_p(q)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{ipq}$$\psi_p(q) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ipq}$. Также отметим, что значение фазы в экспоненте совпадает с классическим действием для свободной частицы $S_{cl}/\hslash =m(q_b-q_a{)}^2/2T$$S_{cl}/\hbar = m(q_b-q_a)^2/2T$. Этот результат не случаен, он справедлив для любого действия, квадратичного по $p$$p$ и $q$$q$.